Re: [分析] Gronwall ineq. |y'|<=|y|

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《cyt147 (大叔)》之銘言：
: 過去曾解過幾個簡單的微分不等式，但今天看到一道題目，感覺也是在解微分不等式，但
: 因為有絕對值，我實在不知該如何下手，請賜教，謝謝。
: Find a nontrivial solution y=f(x)≠0 satisfying the Gronwall inequality
: |y'|≦|y| with the initial value condition y(1)=0.


首先 這部分我不太熟 我也沒找到答案

另外我不確定是不是對的 因為得到奇怪的結果...


Let y in C^1, i.e. y is continuously differentiable on (1, inf)
Assume y != 0

Now suppose y is continuous on x = 1
then y is continuous on [1, 3/2]
|y| is bounded by M and there is some x in (1, 3/2], |y(x)| = M

Now  M   = |int_1^x  y'  dx|
        <=  int_1^x |y'| dx
        <=  int_1^x |y|  dx
        <=  (x-1) M  < M        which leads to a contradiction

Thus either y is not continuous on x = 1
         or y is not C^1 on (1, inf)  (only differentiable)

雖然是寫 C^1, 實際上只是用在微分後可積分而已, 應該能夠弱化很多

總之如果有答案 應該會有一定的醜度...



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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.105
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1508917352.A.66B.html
推 LiamIssac   : 我找時間拍一下原本的證明 或許會有幫助
→ Desperato   : 如果有就太好了 感謝qw q
推 LiamIssac   : https://i.imgur.com/i6ADWrJ.jpg
→ LiamIssac   : https://i.imgur.com/b99yRTq.jpg
→ LiamIssac   : 以前修sde老師給的證明(給反了) Oksendal裡面應該是
→ LiamIssac   : sketch proof
好吧我錯了 根本看不懂...qw q
→ cyt147      : 沒想到要走到這步...這是台大碩士班入學考題         10/25 21:22
→ LiamIssac   : 樓上走財經嗎？
推 znmkhxrw    : 我剛剛找了題目 確實沒有錯 這問的到答案嗎??
→ znmkhxrw    : 因為我證出y是零函數............
→ znmkhxrw    : 而且前提只要：y在R連續 在非整數點可微 即可
→ znmkhxrw    : 微分後可積這條件也不用 因為D大作法可以用MVT帶過
原來是這樣 那不就是我的作法也得到0函數了
我在網路上看到Gronwall ineq.(如果寫成積分版本) 不需要differentiable
其實可以改成 bounded variation...只要是nonnegative
(所以我才會想 會不會其實是很醜的函數)
推 LiamIssac   : 我筆記就有寫y(t) = 0 for all t
推 LiamIssac   : 沒記錯的話Gronwal ineq是用來證明解的存在性
原來如此
※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 10/26/2017 13:31:38
推 znmkhxrw    : 我越來越好奇答案是什麼了...
我有弄出過 y在[1,x)上not monotone 以及[1,x)上not positive的結果
原本覺得答案該不會長的像xsin(1/x)這種鬼東西
可是弄出 y在[1,x)上not differentiable之後就不知道怎麼辦了(攤手)
※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 10/26/2017 14:52:23
推 znmkhxrw    : 如果有答案 一定是那鬼東西
→ znmkhxrw    : 昨晚試了一下 只要y在任何finite interval中
→ znmkhxrw    : 不可微的點只有有限個 那只要y(some pt)=0
→ znmkhxrw    : 就會拓到全部
→ znmkhxrw    : 不過我搞不懂這題出題者要考啥@@
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Gronwall_lemma
我對Gronwall ineq的印象全部來自這裡XD (以前不認識)
其實我在想 如果不需要 continuous 也不需要 |y'|<=|y| everywhere的話
那 given 1+1/n <= x < 1+1/(n-1), y(x) = 1/n 就能解決問題 可是這很蠢www
(而且積分起來並不符合Thm 2中 B=0, C=1 的條件)
※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 10/26/2017 15:09:26