Re: [微積] 一題高微求指導

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《tcbt32 (唐)》之銘言：
: 題目 第10題
: https://imgur.com/kK35XVV
: 下面是我寫的
: https://imgur.com/4HOBMkH
: 接下來怎麼寫都怪怪的 求各位大大指導

提供兩個想法：
(1)
lim n趨於無限 1/1+1/2+...1/n-logn=c，c是歐拉常數(參考文獻：柯朗約翰的微
積分和數學分析引論或William Dunham的天才之旅)
則lim n趨於無限 1/1+1/2+...1/(2n)-log2n=c
且lim n趨於無限 1/1+1/2+...1/n-logn=c
則lim n趨於無限 1/(n+1)+1/(n+2)+...1/(2n)-log(2n/n)=0
lim n趨於無限 1/(n+1)+1/(n+2)+...1/(2n)=log2

(2)
1/(n+1)+1/(n+2)+...1/(2n)=(1/n)*(1/(1+1/n)+....1/(1+n/n))
為積分[0，1]1/(1+x)dx的黎曼和表示，1/(1+x)為連續函數在[0，1]緊緻區間上
，其積分收斂。
積分[0，1]區間 1/(1+x)dx=log(1+x)在[0，1]區間=log2

這兩個想法說明了題目的出處。

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→ chemmachine : keith291大的解法就可以了。