[代數] 虛根成對與有理係數方程式

[tzhau (生命中無法承受之輕)]

設a,b,c,d,為整數，f(x)=2x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+9

若f(x)=0有一虛根為sqrt(2)+i,試求a,b,c,d


我的問題是不在於最後的答案，而是在解這題時使用到的觀念

解法上寫著有一根為sqrt(2)+i, 則由虛根成雙可知有一根為sqrt(2)-i

這我可以理解

但解答上寫著另外兩根是-sqrt(2)+i和-sqrt(2)-i

這就是我的問題 請問依據到底是什麼?

高中教材並未詳細談到無理根成雙這件事

事實上有理係數方程式無理根成雙這件事也不一定對(例如x^3-2=0)

因為正確的敘述是

"有理係數方程式若有一根為a+b*sqrt(c),其中a,b為「有理數」,sqrt(c)為無理數，

 則此方程式必存在另一根a-b*sqrt(c)"

我懂這敘述 也很容易可以自己證出來

但回到原題目 另外兩根是-sqrt(2)+i和-sqrt(2)-i的依據是什麼?

sqrt(2)+i該算無理根？但他卻是虛根也可以符合這正確的敘述嗎？

真的困惑了很久，希望有淺顯易懂的解法或是高中生可以聽懂的方式

先謝謝解惑的版友

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※ 編輯: tzhau (203.64.53.105), 11/08/2017 09:49:49
推 APM99       : 沒有依據  虎你的
→ APM99       : 你可以輕易地建構出 有根sqrt(2)+i  沒有根-sqrt(2)
→ APM99       : +i 的 f(x) = 2x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+9 形式
→ APM99       : 我相信啦 (x-[sqrt(2)+i])(x-[sqrt(2)-i])*x^3*c
→ APM99       : 就不會有另外那兩個根了
推 StellaNe    : 樓上那會變 (x^2-2*sqrt(2)x+3)*x^3*c 不符原題abcd
→ StellaNe    : 是整數吧
推 sunev       : Irrational Conjugate Roots Theorem
→ sunev       : 若p(x) 為有理係數多項式，a+b*sqrt(c) 為p(x)的根
→ sunev       : 其中 a,b 是有理數，sqrt(c)為無理數，
→ sunev       : 則a-b*sqrt(c)也會是根
→ StellaNe    : 樓上看懂在問什麼嗎?這個理論原PO有說啊
→ StellaNe    : 問題是i+sqrt(2)不符合定理中要求的a是有理數
推 sunev       : http://goo.gl/mLCRPg
→ sunev       : 從證明來看 gaussian rational 應該也適用
→ musicbox810 : 真的有這種RULE嗎?五次方根沒有公式解 可以亂七八糟
→ musicbox810 : 也不見得解都是根號，有可能五次方根
推 StellaNe    : 兩個根已經確定了 理論上可以分解成二次式和三次式
→ StellaNe    : 的乘積 而三次式有公式解但我想不是本題重點
推 as7218      : 用因式的角度去看這件事
推 Vulpix      : Q(i)[√2]這樣的域擴張，或者直接跑一次成雙定理的
→ Vulpix      : 證明。定理：「布於Q(i)的多項式，其二次無理根必共
→ Vulpix      : 軛成雙。」其中Q(i)=Q+Qi。
推 Desperato   : f(x) in F[x], a, b in F
→ Desperato   : 則 f(a+bc) = 0 => f(a-bc) = 0
→ Desperato   : iff c not in F, c^2 in F