Re: [代數] 虛根成對與有理係數方程式

[forget0309 (龍雪飲)]

看到推文有個感興趣的問題
會不會有一個有理係數的非零多項式滿足f(sqrt(2)+i)=0但f(-sqrt(2)+i)不等於0

先回到原po的問題可以找到f(x)=x^4-2x^2+9

（這個f的找法是從x=sqrt(2)+i
兩邊平方，移項再平方就出來了）

使得f(sqrt(2)+i)=0
且f(x)的四個根就是解答所說的±sqrt(2)±i

當然這時候可能就要問那有沒有次數小於
4次的有理多項式g滿足g(sqrt(2)+i)=0（當然不考慮g(x)=0這種零多項式）

答案是沒有，原因是[(Q(sqrt(2)+i)：Q]=4
所以是找不到小於4次的非0有理多項式g(x)使得g(sqrt(2)+i)=0
（以上是代數會談到的extend field)

所以上面找的f(x)就是irr((sqrt(2)+i)：Q)(太久沒用，符號表示的部分可能怪怪的）
因此對任何的有理係數的多項式
g(x)滿足g(sqrt(2)+i)=0
一定是irr((sqrt(2)+i：Q)即f(x)的倍式，所以g(-sqrt(2)+i)=0

所以答案應該是找不到有理係數的多項式g同時滿足g(sqrt(2)+i)=0且g(-sqrt(2)+i)不為0

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推 Vulpix      : 這是共軛根成「四」的定理～
→ Vulpix      : 四個根彼此都是共軛的。