Re: [代數] 高中多項式根與係數

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《riemannchen (Riemann)》之銘言：
: http://i.imgur.com/LTUGsG3.jpg
: 請教高手這一題
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: Sent from JPTT on my Sony D6653.

作為根與係數的題目，β/α+γ/β+α/γ看似是無解的。

因為他只有輪換對稱性，沒有排列的對稱性。


不過可以注意到：

(x^3+2x^2+3x+4)' = 3x^2+4x+3 對實數 x 恆正。

因此，實係數三次方程→一實根、二共軛虛根。


考慮 u = β/α+γ/β+α/γ 與其共軛複數 u' = α/β+γ/α+β/γ。

(假裝 α 和 β 共軛、γ 是實數會比較容易看出來。)

那 u+u' = β/α+γ/β+α/γ+α/β+γ/α+β/γ

        = (α+β+γ)(αβ+βγ+γα)/αβγ-3

        = -3/2

且 u*u' = (β/α+γ/β+α/γ)*(α/β+γ/α+β/γ)

        = 3+(α^3+β^3+γ^3)/αβγ+(α^-3+β^-3+γ^-3)/(αβγ)^-1

        = 59/16

所以 u = (-3+(5√2)i)/4 或 (-3-(5√2)i)/4

大概吧。

根與係數那邊有點煩，不想驗算了，有錯請直說。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58
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推 Desperato   : 推作法 我也懶得驗算XD
推 riemannchen : 這高中生可以理解？
→ Vulpix      : 數值計算了一次，應該沒錯。
→ Vulpix      : 判斷實根個數→三下微積分
→ Vulpix      : 共軛複數→一上複數
→ Vulpix      : 根與係數→一上數與式  但這題應用很「繁」。
→ Vulpix      : 一部一部慢慢做，不急躁，還是可以做出來的。
→ Vulpix      : 全部都是高中範圍。
→ Vulpix      :   步  步
推 riemannchen : 謝謝啦
推 Desperato   : 判斷實根個數應該不用到微積分
→ Desperato   : 多項式那邊有教勘根定理(雖然沒證)就行了
→ Vulpix      : 可是不能確定沒有第二個實根啊。其實還可以配方啦，
→ Vulpix      : x^3+2x^2+3x+4 = (x+2/3)^3+5/3*(x+2/3)+70/27
→ Vulpix      : RHS明顯嚴格遞增，這樣可以繞過微積分。
推 riemannchen : 再次感謝你
→ yyc2008     : 請問(x+2/3)^3+5/3*(x+2/3)+70/27要怎看出嚴格遞增?
→ yyc2008     : 喔喔 兩項都是遞增
仔細想想，好像判斷實根個數是多餘的。

因為就算不知道 u' 是 u 的共軛複數，還是可以算出答案來。

(然後就知道 u' 其實是 u 的共軛複數了。

 所以三根之中有虛數，故三根一實二虛。)

重點是把對稱式湊滿才好用根與係數。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 11/09/2017 10:32:59
→ musicbox810 : 可以提供一下解法嗎?我只做出u兩項積的和就是u' 如
→ musicbox810 : 和看出共軛?
→ Vulpix      : u+u'=-3/2, uu'=59/16 這兩條都不需要共軛就能算。
→ Vulpix      : 解二次方程，出來的兩個數字，一個是u，一個是u'。
→ Vulpix      : 所以他們共軛。
→ musicbox810 : 這樣要用到根與係數的關係，到三次方，很繁複
→ musicbox810 : 原PO要不要貼上來根與係數的簡潔方式?
→ Vulpix      : 繁複就繁複吧，對稱多項式整理成基本對稱多項式的過
→ Vulpix      : 程本來就是那樣了。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 11/27/2018 10:53:32