Re: [微積] 級數判斷斂散性

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《aabbcc610 (阿中)》之銘言：
: https://i.imgur.com/BHnFeq8.jpg
: https://i.imgur.com/pPuXX58.jpg
: 請教第八題，要判斷級數練散性
: 他在加絕對值之後是發散
: 為何可以從這樣看出級數發散呢
: 我只學過絕對收斂則原級數收斂

你的疑慮是對的 但是解答也沒錯 要看你書上給的ratio test多強

有些書是用比較弱的ratio：

假設a_n恆正且 lim   a_(n+1)/a_n → L
             n→inf

則 sum a_n 發散 if L>1
           收斂 if L<1
           未知 if L=0


因此，若現在給的數列是b_n不為零，套用這個比較弱的ratio的話，我們會得到：

若 lim   │b_(n+1)/b_n│ → L
  n→inf

則 sum │b_n│ 發散 if L>1 => sum b_n 也發散嗎??????
               收斂 if L<1 => 因此sum b_n 收斂
               未知 if L=0

以上紅色的部分就是你的問題，因為無法從【絕對值級數收斂則原級數收斂】這定理

去解決紅色的部分

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而強的ratio test就直接解決了：給定b_n不為0

若 lim   │b_(n+1)/b_n│ → L
  n→inf

則 sum b_n 發散     if L>1
           絕對收斂 if L<1
               未知 if L=0


不過，證明幾乎一樣，只是弱的版本加上了【恆正】這個絆腳石才會不夠強

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.1.18
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1510313407.A.051.html
推 aabbcc610   : 謝謝你的回答，請問意思是說，比值審斂法不分正負
→ aabbcc610   : 號嗎，因為沒看過老師在交錯級數時直接用這方式判斷
→ aabbcc610   : 我正負號那邊意思是，不分交錯級數還是正項級數嗎
→ znmkhxrw    : 是阿 針對要判斷的a_n 去計算 │a_(n+1)/a_n│極限
→ znmkhxrw    : 則極限<1會推得sum a_n絕對收斂
→ znmkhxrw    :   極限>1會推得 sum a_n 發散
推 aabbcc610   : 可是書上沒寫這方法，是漏掉的意思嗎
推 aabbcc610   : 我是說絕對值an大於一時，原函數發散，沒看過這定理
書上的ratio test是?? 拍給我看一下
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.1.18), 11/10/2017 23:20:19
推 Desperato   : ratio test發散的情況 其實就是lim b_n沒到0
→ Desperato   : 講難聽一點 與其用ratio test證明發散
→ Desperato   : 還不如直接看 lim b_n 沒到 0 比較快
→ Desperato   : ratio test厲害的地方是收斂條件
→ znmkhxrw    : 是阿 所以才說證明差不多 數列恆號根本不需要
→ znmkhxrw    : 只是原PO這種照書走的而且書上不是以證明為主
→ znmkhxrw    : 如果書上沒寫出來就怕怕的吧