Re: [微積] 可微分?

[znmkhxrw (QQ)]

關於f'(a+) 你的課本的定義是a點的右微分

但是你自己又把他誤會成f'(x)的右極限

因此以下我定通用的會比較清楚
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令f為一定義在a點(含)附近的實函數

【定義】

(1)

若 lim  [f(x)-f(a)]/(x-a) 存在，則記為f'(a)，稱作f在a點的微分
  x→a

(2)

若 lim  [f(x)-f(a)]/(x-a) 存在，則記為f^+'(a)，稱作f在a點的右微分
  x→a+


(3)

若 lim  [f(x)-f(a)]/(x-a) 存在，則記為f^-'(a)，稱作f在a點的左微分
  x→a-

(4)

若f在的右邊附近都可微(因此f'(x)在a右邊都存在，稱為導函數)

且 lim  f'(x) 存在，則記為f'(a+)，即f'(x)此函數的在a點的右極限
   x→a+

(5)

若f在的左邊附近都可微(因此f'(x)在a左邊都存在，稱為導函數)

且 lim  f'(x) 存在，則記為f'(a-)，即f'(x)此函數的在a點的左極限
   x→a-

﹝註﹞

(4),(5)其實是任何實函數g(x)的極限通用符號，即：

lim   g(x) = g(a+)，即g(x)此函數的在a點的右極限
x→a+

lim   g(x) = g(a-)，即g(x)此函數的在a點的左極限
x→a-

因此若令g(x):=[f(x)-f(a)]/(x-a) 

則(2),(3)的符號就分別變成f^+'(a) = g(a+)與f^-'(a) = g(a-)

【定理】

(a) 若f'(a)存在
    則f^+'(a)與f^-'(a)都存在且等於f'(a)

    可微則左右微分相同

(b) 若f^+'(a)與f^-'(a)都存在且相等
    則f'(a)存在且等於那個相等的值

    左右微分相同則可微

【注意】

(i) 若f'(x)在a的右邊(含a)都存在
    並不代表f'(a+) = f'(a)

    導函數存在並不能確保導函數的極限存在

    反例：f(x) = xsinx , x=/=0
                 0     , x = 0

(ii)有個有趣的定理是：(平均值定理即可證明，只敘述右邊，左邊類推)

    若f'(x)在a的右邊(不含a)都存在 & f'(a+)存在
    且f在a有定義並連續
    則f^+'(a)存在且等於f'(a+)

    導函數的右極限存在 & 函數在該點連續 就能確保在該點的右微分存在
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這幾個關係搞懂就差不多了

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推 lux6688     : 謝謝你詳細的解說我大概懂了
推 Scape       : 藉機請教一下：f'(a+)、f(a+)除了一些害人的高中
→ Scape       : 參考書外，有沒有哪本常用的微積分原文書用這種符號
→ Scape       : 的？
→ alfadick    : 微積分的書我印象中沒看過有人這樣用
→ alfadick    : 高微的話有些有 記得好比Apostol有