Re: [幾何] 空間幾何考古題

[LPH66 (かつて交わした約束)]

※ 引述《Desperato (Farewell)》之銘言：
: 在某家補習班講義上看到的題目 疑似是某高中段考考古題
: 已知有兩直線過點 (0,1,2) 且完全在 3x^2+5y^2+z^2-8xz+8xy-9=0
: 求此兩直線形成的平面 E 方程式 (以ax+by+cz+d=0表示)
: 姑且用gradient炸開了 可是感覺很作弊...
: 應該有正常簡單的高中解法吧(?)
容易驗證 (0,1,2) 在方程上

令這直線的參數式為 (0,1,2) + t(1,p,q), 代入方程整理成 t 的多項式為

(5p^2+q^2+8p-8q+3) t^2 + (10p+4q-8) t = 0

對所有 t 都成立 (直線全在方程式上) 所以兩係數都是 0

10p+4q-8 = 0 化為 q = 2-(5/2)p 代入 5p^2+q^2+8p-8q+3=0

展開整理得 (45/4)p^2+18p-9 = 0, 或 5p^2+8p-4=0, 或 (5p-2)(p+2)=0

故 p = -2 or 2/5, 對應的 q 為 7 or 1

也就是所求直線方向向量為 (1,-2,7) 或 (1,2/5,1), 後者化為整數為 (5,2,5)

(1,-2,7) 外積 (5,2,5) 得 (-24,30,12) 即為所求平面法向量

或約去公因數為 (-4,5,2)

所求即為 -4x+5y+2z+d=0 顯然它過 (0,1,2), 代入得 d = -9

即此平面為 -4x+5y+2z-9=0 #

--
Ace Snake Santa Clover Junpei June Seven Lotus 9th man  cabin  kitchen  casino
shower operating room laboratory  Ｔ  Ｈ  Ｅ chart captain quarter confinement
torture room steam engine room cargo chapel library study incinerator Gigantic
Q director office security  Ｎ  Ｏ  Ｎ  Ａ  Ｒ  Ｙ archives control laboratory
pec treatment garden pantry gaulem bay rec room crew quarters infirmary lounge
elevator Tenmyouji Quark Dio  Ｇ  Ａ  Ｍ  Ｅ  Ｓ Luna Phi Sigma Alice Clover K

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.195.9.46
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1510481583.A.C22.html
推 Desperato   : 大推 就這樣炸光光了啊\ow o/
→ LPH66       : 其實這題就是計算比較繁而已, 這篇省略不少計算細節
→ yyc2008     : 萬一直線方向的X分量是0呢?
→ yyc2008     : 題目敘述很怪 兩直線都在二次曲線上?是什麼意思?
→ LPH66       : 先回你的問題二: 那是指直線的所有點都在曲面上
                 補充一下, 這題的方程是曲面, 不只是曲線

問題一用修文回好了因為有點多:

(1) 會選 x 分量為 1 是看方程形式裡沒有 yz 項

    所以代入後沒有 pq 項可以簡化計算

(2) 至於 x 分量是否可能為 0, 這裡我現在覺得應該要多寫一段證明不可能:

    如果 x 分量是 0, 那直線會在 x=0 (即 yz 平面) 上

    但曲面和 x=0 的交集 5y^2+z^2-9=0 是個橢圓, 沒有包含一條直線

    (這其實跟前一項提的沒有 yz 項也有相關)
※ 編輯: LPH66 (123.195.9.46), 11/13/2017 02:14:36
推 yyc2008     : 瞭解了 謝謝LP大