不太確定以下有回答到你的問題：
考慮以下偏微方
u_t = u_{xx} + f(x,u,u_x) --- (*)
其中 u 為實值函數。
其中 x 屬於 [0,1]，不妨考慮 Neumann 邊界條件 u_x(t,0) = u_x(t,1) = 0
（其他例如 Dirichlet 或 Robin 邊界條件不影響以下結果）。
假設 f 夠光滑。
給定 C^1 函數 w = w(x)，定義 zero number z(w) 為 w 在 [0,1] 上的嚴格變號次數
（strict sign change）
定理（Angenent 1988，文獻偶爾稱為 Sturm-Liouville property）
若 u(t,x) 為 (*) 的解，則
1. z(u(t,‧)) 為有限非負正數。
2. z(u(t,‧)) 為時間 t 的遞減函數。
3. 當 u(t,‧) 在 t = t_0 有重根 x = x_0，亦即 u(t_0,x_0) = u_x(t_0,x_0) = 0，
則 z(u(t,‧)) 在 t = t_0 嚴格遞減。
註：
i.
Angenent 定理可看做 parabolic comparison principle 的推廣。
ii.
Angenent 定理可用來刻劃 (*) 的全域吸子（global attractor）。簡要說明如下：
假設 f 滿足 dissipative 條件，文獻已知全域吸子存在，又 Matano 證明了 (*)
必有 Lyapunov functional。現假設所有(*) 的均衡解 v = v(x) ，
0 = v_{xx} + f(x,v,v_x), v_x(0) = v_x(1) = 0
皆為 hyperbolic，亦即 0 不是(*) 對於 v 之 variational problem 的特徵值，
則全域吸子在 orbital equivalence 的意義下等價於均衡解跟均衡解之間的
heteroclinics。而 Angenent 定理決定了哪些均衡解之間有 heteroclinics 聯結。
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佳佳
※ 引述《saltlake (SaltLake)》之銘言：
: 施圖姆-劉維(Sturm-Liouville)問題的解常被用在
: 解邊界值常為分和偏微分方程上
: 一般課本提到施圖姆-劉維問題都是常微分方程的形式
: 那麼有沒有偏微分方程的形式呢?
: 這時候會有不只一組特徵函數級嗎? 各個特徵函數集之間
: 會有啥關聯嗎?
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