Re: [分析] Sturm-Liouville problem

[Schwinger (千金之子不死於盜賊)]

※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 不太確定以下有回答到你的問題：
: 考慮以下偏微方
: u_t = u_{xx} + f(x,u,u_x) --- (*)
: 其中 u 為實值函數。
: 其中 x 屬於 [0,1]，不妨考慮 Neumann 邊界條件 u_x(t,0) = u_x(t,1) = 0
: （其他例如 Dirichlet 或 Robin 邊界條件不影響以下結果）。
: 假設 f 夠光滑。
: 給定 C^1 函數 w = w(x)，定義 zero number z(w) 為 w 在 [0,1] 上的嚴格變號次數
: （strict sign change）
: 定理（Angenent 1988，文獻偶爾稱為 Sturm-Liouville property）
: 若 u(t,x) 為 (*) 的解，則
: 1. z(u(t,‧)) 為有限非負正數。
: 2. z(u(t,‧)) 為時間 t 的遞減函數。
: 3. 當 u(t,‧) 在 t = t_0 有重根 x = x_0，亦即 u(t_0,x_0) = u_x(t_0,x_0) = 0，
:    則 z(u(t,‧)) 在 t = t_0 嚴格遞減。
: 註：
: i.
: Angenent 定理可看做 parabolic comparison principle 的推廣。
: ii.
: Angenent 定理可用來刻劃 (*) 的全域吸子（global attractor）。簡要說明如下：
: 假設 f 滿足 dissipative 條件，文獻已知全域吸子存在，又 Matano 證明了 (*)
: 必有 Lyapunov functional。現假設所有(*) 的均衡解 v = v(x) ，
: 0 = v_{xx} + f(x,v,v_x), v_x(0) = v_x(1) = 0
: 皆為 hyperbolic，亦即 0 不是(*) 對於 v 之 variational problem 的特徵值，
: 則全域吸子在 orbital equivalence  的意義下等價於均衡解跟均衡解之間的
: heteroclinics。而 Angenent 定理決定了哪些均衡解之間有 heteroclinics 聯結。
: ＿＿＿＿
: 佳佳
: ※ 引述《saltlake (SaltLake)》之銘言：
: :  施圖姆-劉維(Sturm-Liouville)問題的解常被用在
: :  解邊界值常為分和偏微分方程上
: :  一般課本提到施圖姆-劉維問題都是常微分方程的形式
: :  那麼有沒有偏微分方程的形式呢?
: :  這時候會有不只一組特徵函數級嗎? 各個特徵函數集之間

特徵函數應該是一組吧?

: :  會有啥關聯嗎?

各個特徵函數一定是正交而且orthonormal,而且這基底一定是complete,這是

Sturm-Liouville最漂亮的定理,他也幾乎無所不在,Jackson電動力學和量子力學就是

Sturm-Liouville B.V.P最好的應用


              回文看起來挺有趣,但是這問題沒這麼複雜,Sturm-Liouville

是常微分方程道理其實很簡單,你做PDE幾乎90%一定是把偏微分方程用分離變數法

為什麼可以用分離變數法?  猜啊,這一定是獨立才可以拆成二個.然後想辦法變成O.D.E

為什麼可以猜,因為有邊界條件啊,沒邊界條件的PDE一定不是Sturm-Liouville

比較深入的可以看一下 交大出版社 林琦焜教授的書

                    RIESZ位勢與SOBOLEV不等式

http://m.sanmin.com.tw/product/index/000592313

這裡面確實蠻多有趣的Sturm-Liouville特殊函數問題的技巧

希望有幫到你






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→ saltlake    : 似乎在哪邊文獻有聽過多特徵值(multi-eigenv)問題
→ jack7775kimo: 林老師的那本書沒有談到Sturm-Liouville,另一本傅立
→ jack7775kimo: 葉分析才有,另外也可以參考Folland的傅立葉ch3-6
→ saltlake    : 傅立葉分析與應用 <- this?
→ saltlake    : 另外 好像林教授的書都特別強調量綱分析?
→ saltlake    : 這個分析有專書寫得好的嗎? 一般這好像是課本的一個
→ saltlake    : 章的內容帶過的 不知為何林教授特別強調