Re: [分析] 兩題 證無理數

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《ohyesiamhone (3.14159265358979)》之銘言：
: (1) 證: (arccos(1/3^2))/pi 是無理數
: (2) 證: (arccos(1/n))/pi 是無理數, 當n>=3
: 第一題大概有個頭緒用反證法, 但不知道怎麼做下去
: 第二題連怎麼開頭都不知道0.0
: 希望版上大大幫忙解答, 感激不盡, 好人一生平安


如果不考慮(1)的話 (2)有一個強度更強的敘述


考慮以下 T_n(x)  (可以查 chebychev polinomial)

T_0(x)     = 1
T_1(x)     = x
T_(n+1)(x) = x T_n(x) - T_(n-1)(x)

則可以得到 T_n(2cos(t)) = 2cos(nt)

而且顯然 T_n(x) 是首項係數為 1 的整係數多項式


現在假設有理數 r = p/q, p in Z, q in N

則 x = 2cos(pi r) 會是 T_q(x) - 2cos(pi p) = 0 的解

如果 x 是有理數的話，根據有理根檢驗法，x 一定要是整數

因此 x 只有五種可能 -2, -1, 0, 1, 2


(Thm) 如果 r 和 cos(pi r) 都是有理數
      則 cos(pi r) 必須為 -1, -1/2, 0, 1/2, 1 的其中一個


這樣應該可以解決(2)的問題(???)


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嗯嗯ow o

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推 ohyesiamhone: 剛剛有查了一下chebyshev polynomial
→ ohyesiamhone: 想請教這題的T(x)是怎麼找的呢
→ Desperato   : 正確來說是先有chebyshev
→ Desperato   : 然後改一下遞迴式弄成首項係數為正
→ Desperato   :                                *1
→ Desperato   : 就算不改首項係數 光那個遞迴式就能證明完畢了
→ Desperato   : 因為分母只會無限制地變大 不會變成整數