[代數] 求實根問題

[Mistouko (Mistouko)]

(1)試證：方程式 x^3+4x=10 恰有一實根。

(2)承(1)，設此實根為α，請問α最接近哪一個整數？

(3)承(1)，(2)，請問方程式 x^37+4x^13-10x=0 共有幾個實根？


想法：

(1)利用勘根，找到f(1)×f(2)<0，故在1和2之間至少有一實根。

   再設α，β為2個正實根。

   即f(α)=α^3+4α-10=0
     f(β)=β^3+4β-10=0

   兩式相減， (α-β)(α^2+αβ+β^2)+4(α-β)=0

              (α-β)(α^2+αβ+β^2+4)=0

   因為α，β為兩正實根，故α^2+αβ+β^2+4≠0

   即α=β，故恰有一實根。


(2)因f(3/2)<0，故f(3/2)×f(2)<0，即最接近整數 2

(3)x^37+4x^13-10x=x(x^36+4x^12-10)=0

   故x=0或x^36+4x^12-10=0

   若x^36+4x^12-10=0，則利用勘根定理，f(1)×f(2)<0，

   且 f(-1)×f(-2)<0，故共有3實根----->這個答案對嗎？


麻煩各位高手了，因為第三題沒有答案，怕解題觀念有錯。

而第一題這樣證明有沒有問題呢？

謝謝大家 :)



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.226.107.65
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推 lovedjan    : 題目是三次式嗎？@@
→ Mistouko    : 第一題4次，第三題37次
→ Mistouko    : 啊！我打錯了！第一小題是三次式沒有錯：）
推 LPH66       : 第三題可以觀察到 x^12 是 (1) 的根
→ LPH66       : 所以 (3) 的實根其 12 次方會是 (1) 的實根
→ LPH66       : 易知實數開 12 次方有兩個實根, 所以全部一共三個
※ 編輯: Mistouko (36.226.107.65), 11/25/2017 07:10:44
推 kbccb01     : 第一題我想可先證明f(x)嚴格遞增或1對1，說明f(x)=0
→ kbccb01     : 只有一個值，感覺較快XD
推 kbccb01     : 啊啊不對，原po做的事情差不多，只不過我想可以先假
→ kbccb01     : 設2實根大的a小的b，a^3>b^3，a>b這樣可以直接得除f
→ kbccb01     : (a)>f(b)來反證這樣
→ kbccb01     : *得出
推 wohtp       : 證遞增只要三行算數，比原po寫的快得多
→ wohtp       : 甚至如果假設讀者的層次稍微高一點，遞增都不用證明
→ wohtp       : ，說一句它是就好了