推 mj813 : 感恩！ 11/27 21:50
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※ 編輯: Tiderus (123.110.63.11), 11/27/2017 22:00:45
※ 引述《mj813 (薩坨十二惡皆空)》之銘言：
: 菱形ABCD，角B為60度。
: 直線EF通過D點，
: 分別與BA、BC的延長線交於E、F。
: 設M為CE與AF的交點，
: 若CM=4，EM=5，求AC=？
: 麻煩各位前輩解惑，感激不盡！
只想到一些麻煩做法：
設 B(0,0) , A(a,√3 a) , C(2a,0)
D(3a,√3 a) , E(k,√3 k) , F(m,0)
其中k > a > 0 ，m > 2a
分點公式 --> M(4k/9 + 10a/9 , 4√3k/9)
CE = 9 : (2a - k)^2 + 3k^2 = 9^2
整理得 4a^2 - 4ka + 4k^2 = 81 .....I
EDF共線： (√3k) : (k-m) = (√3a) : (3a-m)
整理得 2ka + (a-k)m = 0 .....II
AMF共線： (√3a) : (a-m) = (4√3k/9) : (4k/9 + 10a/9 - m)
整理得 10a^2 + (4k-9a)m = 0 ......III
II.III --> 消去m ，整理得 5a^2 + 4ka - 4k^2 = 0 .....IV
I.IV相加 ---> 9a^2 = 81 ---> a = 3
AC = BC = 2a = 6
另外想到的作法：
以下以#表向量，例如：BA# 表示 BA向量。
設BE# = x BA#
BF# = y BC#
AC長度：|AC#| = |BA#| = |BC#| = k
則BM# = 4/9 BE# + 5/9 BC#
= 4x/9 BA# + 5/9y BF# --> 4x/9 + 5/9y = 1 ....I
BD# = 2 (1/2 BA# + 1/2 BC# ) = BA# + BC# = 1/x BE# + 1/y BF#
--> 1/x + 1/y = 1 ....II
I.II --> 消去y 整理得4x^2 - 4x - 5 = 0 --> x^2 - x = 5/4
|CE#| = |xBA# - BC#| = 9 --> |xBA# - BC#|^2 = 81
--> (k^2)(x^2 - x + 1) = 81
--> (9/4)(k^2) = 81 --> k = 6
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