Re: [中學] 柯西不等式

[tzhau (生命中無法承受之輕)]

※ 引述《semmy214 (黃小六)》之銘言：
: https://imgur.com/a/qVcLP
: 這題感覺是進階題
: 請瞭解的大大詳解~3Q

由柯西不等式知 (1^2 + z^2)[(x+y)^2 + 1^2] >=(x+y+z)^2

又由題意知 (x+y+z)^2 = (1+z^2)[ 1+(1+x^2)(1+y^2) ]

故 (1^2 + z^2)[(x+y)^2 + 1^2] >=(1+z^2)[ 1+(1+x^2)(1+y^2) ]

=> [(x+y)^2 + 1^2]>=[ 1+(1+x^2)(1+y^2) ]

=> x^2 + 2xy + y^2 + 1 >= 1 + 1 + x^2 + y^2 + (xy)^2

=> (xy-1)^2 <= 0 , 故 xy = 1 => y = 1/x

柯西等號成立時, 1/(x+y) = z/1 => z = 1/(x+y)= 1/[x+(1/x)] = x/(1+x^2)

故f(x)=1/x, g(x)=x/(1+x^2)_


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推 Desperato   : 一樣的技術可以用兩次啊
→ Desperato   : (1+z^2)(1+(x^2+1)(1+y^2))
→ Desperato   : >= (1+z^2)(1+(x+y)^2) >= (x+y+z)^2
→ musicbox810 : 請問D大(1+(x^2+1)(1+y^2)) >= 1 + (x+y)^2怎麼算?
→ Desperato   : (x^2+1^2)(1^2+y^2) >= (x 1+1 y)^2
→ musicbox810 : ><抱歉問了這種蠢問題