推 semmy214 : 第二小題也麻煩一下 3Q 12/10 22:38
※ 引述《semmy214 (黃小六)》之銘言：
: http://imgur.com/a/aVGIb
: 請教版上高手大大
這看起來像是大學課本的exercise.
cosθcos2θcos3θ+cos2θcos3θcos4θ+.....+cosnθcos(n+1)θcos(n+2)θ
積化和差
=(cos4θ+cos2θ)/2*cos2θ+(cos6θ+cos2θ)/2*cos3θ+(cos8θ+cos2θ)/2*cos4θ
+....+(cos(2n+2)θ+cos2θ)/2*cos(n+1)θ
=cos2θ/2(cos2θ+cos3θ+cos4θ+..cos(n+1)θ)+
(cos4θ*cos2θ/2+cos6θcos3θ/2+....cos(2n+2)θcos(n+1)θ/2)
積化和差
=cos2θ/2*Re[e^(i2θ)+e^(i3θ)+.....e^(i(n+1)θ)
+(cos6θ+cos2θ)/4+(cos9θ+cos3θ)/4+...+(cos(3n+3)θ+cos(n+1)θ)/4
=cos2θ/2*Re[e^(i2θ)+e^(i3θ)+.....e^(i(n+1)θ)
+1/4(Re[e^(i6θ)+e^(i9θ)+...e^i(3n+3)θ])+
1/4(Re[e^(i2θ)+e^(i3θ)+...e^i(n+1)θ])
=cos2θ/2(Re[e^(i2θ)*(e^(iθn)-1)/(e^(iθ)-1)])+
1/4*Re[e^(i6θ)*(e^i(3θn)-1)/(e^(3iθ)-1)]+
1/4*Re[e^(i2θ)*(e^(iθn)-1)/(e^(iθ)-1)] #
Remark:
本題使用兩次積化和差將三連乘積化為三個複數等比數列之ˊ
實部。
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