Re: [中學] 轉貼昌爸工作坊的方程式問題

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《thr3ee (亞澤蛙 妮可)》之銘言：
: 轉貼昌爸工作坊的一題方程式問題
: 已知: xx+sqrt(xx-1)+1/[xx-sqrt(xx-1)]=5
: 所求: xxxx+sqrt(xxxx-1)+1/[xxxx-sqrt(xxxx-1)]=?
: -----------------------------------------
: 剛開始看到這題時
: 就知道這題難度很高
: 短時間內想不到太好的方法
: 也有點懷疑是不是題目打的時候有筆誤
: 想徵求良好的做法
: PS: 如果是暴力展開求xx的值 會卡在三次方程式
:     如果你有辦法用暴力展開做這題 我也很樂意接受
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x^2+sqrt(x^2-1)+1/(x^2-sqrt(x^2-1))=5
求x^4+sqrt(x^4-1)+1/(x^4-sqrt(x^4-1))
設參數t=x^2+sqrt(x^2-1)
t+1/t=5
t^2-5t+1=0
t=(5±sqrt(21))/2
記c=(5+sqrt(21))/2,c'=(5-sqrt(21))/2
x^2+sqrt(x^2-1)=c 或c'
不失一般性，設
c-x^2=sqrt(x^2-1)
(c-x^2)^2=x^2-1
x^4-2cx^2+c^2=x^2-1
x^4+(-2c-1)x^2+c^2+1=0
將x^2看為一個變量
x^2=((2c+1)±sqrt((2c+1)^2-4(c^2+1)))/2
x^2=((2c+1±sqrt(4c-3))/2
x^4=((2c+1)^2+4c-3±(4c+2)sqrt(4c-3))/4
或x^4=((2c'+1)^2+4c'-3±(4c'+2)sqrt(4c'-3))/4
這裡c=(5+sqrt(21))/2，c'=(5-sqrt(21))/2
將x^4代入
x^4+sqrt(x^4-1)+1/(x^4-sqrt(x^4-1))即為所求。  #

Remark：本題用兩次參數變換t和x^2降低方程的維度。













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推 thr3ee      : 這題久到連我都忘記有發過了
→ chemmachine : 最近才想到
→ XII         : 不是t+1/t=5吧?
→ chemmachine : 感謝糾正，看錯XD
→ chemmachine : 做出來了等等po
→ chemmachine : 這篇文章是解很像的方程
→ chemmachine : x^2+sqrt(x^2-1)+1/(x^2+sqrt(x^2-1))=5