Re: [幾何] 尺規作圖 求強者

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《QQmn (QQmn)》之銘言：
: 尺規作圖:
: 已知一任意三角形ABC，DE為AB,AC上兩點,且AB>AC，求用尺規做出BD=DE=CE(要兩種方式)

我只提供一種方式 因為我也弄很久...

作 ∠BDE的角平分線 和 ∠DEC的角平分線 交於 I

則 (1) IB = IE = IE = m
   (2) ID = ID = IC = n
   (3) BD = DE = CE = x

因此 △BID = △EID = △EIC (SSS全等)


接著我們要說明 m > n
方便起見將 左B右C 設為水平線 A在上方
由於 AB > AC, A會在偏右的地方
由 ∠ABC < ∠ACB 可以知道 D的高度會低於E的高度
因此 ∠ADE < ∠ABC < ∠ACB < ∠AED
於是 ∠BDE > ∠DEC, 其一半也是
在 △IDE 中就可以看到 m > n


現在如果能夠找到這個 I 的話
則以 I 為圓心 IB = m 為半徑 交 AC 於 E 點
在 △IEC 中 ∠ECI, IC = n, IE = m 皆為已知
為 SSA 的情形 但因為 m > n 因此會有也只會有一點 E 滿足條件
接著作 ∠BIE 的角平分線 交 AB 於 D 點
就可以還原 BD = DE = CE 的情況


=== 以下說明要如何找到 I ===

作 I 在 BD 上的高 IP
和 I 在 CE 上的高 IQ
則 IP = IQ, 因此 I 在 ∠BAC的角平分線上 (條件1)

設 ∠BID = ∠DIE = ∠EIC = t
由於 ∠PID = ∠QIC
有 2t = ∠DIC = ∠PIQ = 180度 - ∠A
因此 t = 90度 - (1/2)∠A
因此 ∠BIC(有A的那個) = 3t = 270度 - (3/2)∠A (條件2)

令 ∠BAC的角平分線 上一動點 J
則明顯 當 J點 從 A點 往角平分線方向移動時
∠BJC(有A的那個)會逐漸遞減

因此 I 點是唯一決定的


困難點是如何畫出 ∠BIC

同樣設 左B右C水平線 A 在 BC 上方
簡記 ∠BAC = ∠A, 分成 3 種情況

(1) ∠A = 60度
此時 ∠BIC = 180度
作 ∠BAC的角平分線 即交 BC 於 I 點

(2) ∠A < 60度
此時 ∠BIC > 180度 也就是在 BC 上方
在 BC 下方作 ∠CBO = (3/2)∠A
與 BC 的中垂線 交於 O 點
再以 O 為圓心 BO 為半徑
在 BC 上方 交 ∠A 的角平分線於 I 點

(3) ∠A > 60度
此時 ∠BIC < 180度 也就是在 BC 下方
在 BC 上方作 ∠CBO = 180度 - (3/2)∠A (如果∠A太大 就畫到 BC 下面去)
與 BC 的中垂線 交於 O 點
再以 O 為圓心 BO 為半徑
在 BC 下方 交 ∠A 的角平分線於 I 點

這樣的話 I 點就唯一符合條件
終歸是非常暴力的作法
應該會有遠比以上方法容易的方式(畢竟老師都說很多作法了嘛)


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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.30
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1513845418.A.AB4.html
推 chemmachine : 這個方法我很佩服，不愧是112。
→ yyc2008     : 有A的那個是什麼意思?
推 LPH66       : 是指以 I 為頂點, 由 B 經 A 到 C 張的這個角
→ LPH66       : BJC 同理, 會這樣寫的原因是因為這可能是優角
→ LPH66       : 也就是下面三種狀況中的 (2) 的情形
→ yyc2008     : 謝謝LP大的解釋