Re: [幾何] 尺規作圖 求強者

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《QQmn (QQmn)》之銘言：
: 尺規作圖:
: 已知一任意三角形ABC，DE為AB,AC上兩點,且AB>AC，求用尺規做出BD=DE=CE(要兩種方式)
不失一般性，設A(0，0) B(1，0) C(a，b)，BD=DE=EC=L

將AB參數化，D(t，0) 則BD^2=L^2  (1-t)^2=L^2 t=1-L
所以設D(1-L，0)

將AC參數化(au，bu)，EC^2=L^2=(a-au)^2+(b-bu)^2
(1-u)^2=L^2/(a^2+b^2)，u=1-L/sqrt(a^2+b^2)
所以設E(a-(aL/sqrt(a^2+b^2))，b-(bL/sqrt(a^2+b^2)))

又DE=L，所以(a-(aL/sqrt(a^2+b^2))-1+L)^2+(b-(bL/sqrt(a^2+b^2)))^2=L^2

解L的二次方程並討論之。
(1-(2a/sqrt(a^2+b^2))L^2+(2a-2-(2*sqrt(a^2+b^2))+(2a/sqrt(a^2+b^2))L+
(a-1)^2+b^2=0

同乘sqrt(a^2+b^2)
(sqrt(a^2+b^2)-2a)L^2+((2a-2)sqrt(a^2+b^2)-2(a^2+b^2)+2a)L+
sqrt(a^2+b^2)((a-1)^2+b^2)=0

令sqrt(a^2+b^2)=s
(s-2a)L^2+(2as-2s-2s^2+2a)L+s(s^2-2a+1)=0

設s-2a=α，2as-2s-2s^2+2a=β，s(s^2-2a+1)=γ
△=β^2-4αγ=(2as-2s-2s^2+2a)^2-4s(s^2-2a+1)(s-2a)
考慮正負號：
α=sqrt(a^2+b^2)-2a可正可負
β=s(2a-2s)+2(a-s)<0
γ=s((a-1)^2+b^2)>0
△=8s^3+(4a^2-8a)s^2-8a^2*s+4a^2
=8s^2(s-a)+4a^2(s-1)^2>0
故α可正可負，β負，γ正，△正

L=(-β±sqrt(β^2-4αγ))/2α
若α>0，取L=(-β±sqrt(β^2-4αγ))/2α 必為正
若α<0，取L=(-β-sqrt(β^2-4αγ))/2α 必為正
若α=0，L方程退化為一次方程，βL+γ=0 L=-γ/β 必為正

因加減乘除及二次根號皆可尺規作圖，作出|α|、-β、γ、△，再做出L即為所求。

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→ chemmachine : 計算很複雜可幫我檢查。
推 Desperato   : 噢噢超暴力解出現了wwww
→ chemmachine : 我的α>0、α<0、α=0分別對應到Desperato大的角A>
→ chemmachine : 60度，角A=60度，角A<60度。