[分析] 偏微分方程展開問題

[Lanjaja ()]

以前一直有個疑問藏心頭，
就是在做偏微分方程或微分方程邊界值問題的時候，

例如：討論區間是[0,π]，邊界值條件如果為y(0,t)=0=y(π,t)

這種情況就只能選擇sin(nx)做展開，拋棄掉cos(nx)的成分。
可是我就一直不了解，縱使cos(0),cos(nπ)不為0，
難道1和(-1)就湊不出0嗎？
像是cos(3x)-cos(5x)一樣在x=0和x=π處滿足邊界值條件y(0)=y(π)=0
但為什麼按照解偏微分的函數展開方式，
就不包含形如cos(nx)的成分呢？

感謝強者的回答～

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.56.10.112
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推 Vulpix      : 因為cos大致都可以用sin們疊出來。
→ Vulpix      : 應該都是差兩點。
→ Lanjaja     : 請問V大2點是指?
→ lo0945      : 因為n的範圍是無限吧
→ Lanjaja     : lo大可以再說得詳細一點嗎?
→ Lanjaja     : 我舉sin cos只是例子而已，實際上我的疑問是即使那
→ Lanjaja     : 個解的函數單獨不滿足PDE的BC，但是如果和其他一樣
→ Lanjaja     : 單獨不滿足BC的解函數作線性組合，還是有可能滿足BC
→ Lanjaja     : 所以為什麼在做函數展開的時後就要先把那些單獨無法
→ Lanjaja     : 滿足BC的解函數排除掉線性組合當中呢?
→ recorriendo : complete basis