推 kbccb01 : 推引經據典(?) 12/25 21:10
※ 引述《chemmachine (chemmachine)》之銘言：
: ※ 引述《QQmn (QQmn)》之銘言：
: : 尺規作圖:
: : 已知一任意三角形ABC，DE為AB,AC上兩點,且AB>AC，求用尺規做出BD=DE=CE(要兩種方式)
: 不失一般性，設A(0，0) B(1，0) C(a，b)，BD=DE=EC=L
: 將AB參數化，D(t，0) 則BD^2=L^2 (1-t)^2=L^2 t=1-L
: 所以設D(1-L，0)
: 將AC參數化(au，bu)，EC^2=L^2=(a-au)^2+(b-bu)^2
: (1-u)^2=L^2/(a^2+b^2)，u=1-L/sqrt(a^2+b^2)
: 所以設E(a-(aL/sqrt(a^2+b^2))，b-(bL/sqrt(a^2+b^2)))
: 又DE=L，所以(a-(aL/sqrt(a^2+b^2))-1+L)^2+(b-(bL/sqrt(a^2+b^2)))^2=L^2
: 解L的二次方程並討論之。
: (1-(2a/sqrt(a^2+b^2))L^2+(2a-2-(2*sqrt(a^2+b^2))+(2a/sqrt(a^2+b^2))L+
: (a-1)^2+b^2=0
: 同乘sqrt(a^2+b^2)
: (sqrt(a^2+b^2)-2a)L^2+((2a-2)sqrt(a^2+b^2)-2(a^2+b^2)+2a)L+
: sqrt(a^2+b^2)((a-1)^2+b^2)=0
: 令sqrt(a^2+b^2)=s
: (s-2a)L^2+(2as-2s-2s^2+2a)L+s(s^2-2a+1)=0
: 設s-2a=α，2as-2s-2s^2+2a=β，s(s^2-2a+1)=γ
: △=β^2-4αγ=(2as-2s-2s^2+2a)^2-4s(s^2-2a+1)(s-2a)
: 考慮正負號：
: α=sqrt(a^2+b^2)-2a可正可負
: β=s(2a-2s)+2(a-s)<0
: γ=s((a-1)^2+b^2)>0
: △=8s^3+(4a^2-8a)s^2-8a^2*s+4a^2
: =8s^2(s-a)+4a^2(s-1)^2>0
: 故α可正可負，β負，γ正，△正
: L=(-β±sqrt(β^2-4αγ))/2α
: 若α>0，取L=(-β±sqrt(β^2-4αγ))/2α 必為正
: 若α<0，取L=(-β-sqrt(β^2-4αγ))/2α 必為正
: 若α=0，L方程退化為一次方程，βL+γ=0 L=-γ/β 必為正
: 因加減乘除及二次根號皆可尺規作圖，作出|α|、-β、γ、△，再做出L即為所求。
參考
九章出版的"幾研"
ch2"代數法"的ex6
x+y=s,xy=bc/2 (此時x=DA,y=EA)
即DE直線過內心I,且平分ABC周長
再參考
ch5"定理2"
即可"加減開方"
作出DA與EA兩線段長
a+2DE=s,DE=(s-a)/2
亦即
BD=CE=DE=(s-a)/2...圓外一點A至切線段長的一半
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