[分析] [200 ptt dollars]求limsup_{n→∞}

[cyt147 (大叔)]

Find limsup_{n→∞} a_n and liminf_{n→∞} a_n if a_n=[1+(1/n)]cos(nπ/3).

先分類

a_n=  1+[1/(6k)]      if n=6k.

a_n= {1+[1/(6k-1)]}/2 if n=6k-1.

a_n=-{1+[1/(6k-2)]}/2 if n=6k-2.

a_n=-{1+[1/(6k-3)]}   if n=6k-3.

a_n=-{1+[1/(6k-4)]}/2 if n=6k-4.

a_n= {1+[1/(6k-5)]}/2 if n=6k-5.


接下來就不知道該怎麼辦了，我求limsup_{n→∞}都是用下列兩種方式:

1.sup{subsequential limits}

2.lim_{n→∞}sup{a_m:m≧n}

目前兩種都想不出來，請指教，非常感謝。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.193.88.184
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※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/25/2017 22:22:23
推 Vulpix      : limit point只有1, 1/2, -1/2, -1四個啊。
一定要用cluster point下去做嗎?沒用過，有點陌生。
→ Vulpix      : 另外你記號寫得有點怪，應該是limsup_{n→∞}。
抱歉，忘記會跟第二種方式搞混。
→ Vulpix      : limsup_{n→∞}a_n = 1, liminf_{n→∞}a_n = -1
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/25/2017 23:24:22
推 Vulpix      : 其實跟sup{subsequential limits}的想法是一樣的。
→ Vulpix      : 在1,1/2,-1/2,-1四點周圍開ε-ball，當subsequence
→ Vulpix      : 的項數夠大的時候(即子數列的尾巴)，就會被這四個球
→ Vulpix      : 包住。則四球外的數字都不是subsequential limit。
→ Vulpix      : 因為ε任意，導致除了1,1/2,-1/2,-1四點以外，沒有
→ Vulpix      : subsequential limit。
我決定直接六種情況取極限，然後當作已經蒐集到全部的subsequential limit，我之前
就是卡在自己有沒有窮究所有的可能。因為某些原因，我現在只能學好老方法。謝謝
回答，P幣隨後奉上，請查收。
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/26/2017 07:06:56