[其他] 限制範圍求最大值(第一位贈500p)

[znmkhxrw (QQ)]

想請問一下以下問題：
                                   n
Let S:={(x_1,...,x_n):x_i€[0,1], Σ x_i = 1}
                                  i=1

                      n     n                   n
and f(x_1,...,x_n):=[Σ    Σ    x_i^2*x_j^2 + Σ x_i^2*(1-x_i)^2 ]^0.5
                     i=1 j=1,i≠j              i=1

Find sup f(x)
    x€S

------------------------------------------
paper直接寫出x_i都一樣取1/n即為所求

到底是怎麼看出來的?? 或是計算出來的??

以n=2為例, f(x_1,x_2)= x_1^2*x_2^2 + x_2^2*x_1^2

                     + x_1^2*(1-x_1)^2 + x_2^2*(1-x_2)^2

謝謝解答~

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1514354271.A.A4E.html
→ LiamIssac   : 沒有constraints就一階微分=0阿 多變數就一階偏微
→ LiamIssac   : 喔 請用Lagrangian multiplier因為你的x有sum 等於1
我當然知道Lagrangian multiplier 但是:

1.算出來的結果只是必要條件, 要比較所有算出來的點以及邊界點

2.對F = f - lamda*限制條件的計算 超‧複‧雜

主要是因為2.我才來發問的 而且paper直接帶過我才想說是否有簡單看法

例如觀察到f是對稱的 f(x_1,x_2) = f(x_2,x_1)
※ 編輯: znmkhxrw (220.128.169.29), 12/27/2017 14:43:47
→ LiamIssac   : 沒有 但convex sum會是一個出路
→ LiamIssac   : 你的例子才2維 一點都不複雜 只是看你想不想動手算
→ LiamIssac   :  算了才有機會發現端倪
→ znmkhxrw    : 你意思是n維的情況也是下去爆開後就會發現新世界了?
→ LiamIssac   : 走n維不難 會寫vector form 剩下就是代數跟微分而已
願聞其詳 我爆不出來時有試著寫成向量湊cauchy 但是不知道form是怎樣

你說的form是??
※ 編輯: znmkhxrw (220.128.169.29), 12/27/2017 18:48:11
→ LiamIssac   : 請先把2維的例子中lagrangian formulas全部寫出來 5
→ LiamIssac   : 個式子而已 然後你會發現3個multipliers有兩個等於0
→ LiamIssac   : (對應到x <= 1的那兩個) 然後解連立方程式 就可以
→ LiamIssac   : 知道答案了 然後推廣到n維就是trivial