Re: [其他] 限制範圍求最大值(第一位贈500p)

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 想請問一下以下問題：
:                                    n
: Let S:={(x_1,...,x_n):x_i€[0,1], Σ x_i = 1}
:                                   i=1
:                       n     n                   n
: and f(x_1,...,x_n):=[Σ    Σ    x_i^2*x_j^2 + Σ x_i^2*(1-x_i)^2 ]^0.5
:                      i=1 j=1,i≠j              i=1
: Find sup f(x)
:     x€S
: ------------------------------------------
: paper直接寫出x_i都一樣取1/n即為所求
: 到底是怎麼看出來的?? 或是計算出來的??
: 以n=2為例, f(x_1,x_2)= x_1^2*x_2^2 + x_2^2*x_1^2
:                      + x_1^2*(1-x_1)^2 + x_2^2*(1-x_2)^2
: 謝謝解答~
https://imgur.com/a/3edHc
https://imgur.com/a/FjhTB
https://imgur.com/a/b4cRH
https://imgur.com/a/sRc46

拉格朗日乘子法後用因式分解並配方證明只有平凡解。並用海森矩陣證明
其是否為極大極小值或鞍點。

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1514453347.A.7BD.html
推 LiamIssac   : 推 你的Lagrangian很不一樣 不過結果是對的
→ chemmachine : 這個在做奧數有碰過，所以研究過好幾天了。
推 LiamIssac   : 學optimization的通常不會走你的方法 算是學了新招
→ LiamIssac   :  厲害
→ chemmachine : 多謝稱讚
推 znmkhxrw    : 謝謝我等等細看
→ znmkhxrw    : 然後L大你之前說的方法 就不用因式分解跟配方嗎??
→ znmkhxrw    : 我照傳統的lagrange得出微分等於0 還是很複雜
推 LiamIssac   : 其實不會 傳統方法在2維看似複雜 但是其實是對稱的
→ LiamIssac   :  幾乎不用算 就可以看出 x1 = x2 但是重點是你要看
→ LiamIssac   : 的出來對應x <= 1的multiplier為0 而x1+x2=1的multi
→ LiamIssac   : plier為任意實數
→ LiamIssac   : https://i.imgur.com/qtiiV1U.jpg
推 znmkhxrw    : 0<=x_1,x_2<=1 可以當成另外兩個限制條件??
→ znmkhxrw    : 他不是不等式嗎?? 即便可以的話 對lamda_1偏微分後
→ znmkhxrw    : 等於0 應該是算出x_1=1吧 你怎得出lamda_1=0
推 LiamIssac   : 不 complementary slackness條件ab=0是說 當a > 0 b
→ LiamIssac   : 必等於0 (反之亦然) 所以要嘛你讓x = 1或是讓 x- 1
→ LiamIssac   :  < 0
→ LiamIssac   : 然後記得 你還有x1 + x2 = 1
→ chemmachine : google k-k-t的博士論文，推廣型拉格朗日，有不等式
→ chemmachine : 的拉格朗日，坐起來更複雜，我單純把0和1當作邊界點
→ chemmachine : 這個題目的參考文獻Friedberg的線代hessian matr-
→ chemmachine : ix，Marsden高微的多變量正定矩陣，wiki k-k-t con-
→ chemmachine : dition，wiki海森矩陣hessian matrix
→ chemmachine : 極值或鞍點要考慮只有三種情形，微分等於零、不可微
→ chemmachine : 分、邊界點，拉格朗日算出微分等於零，邊界是0，1，
→ chemmachine : 這個是c無窮多項式函數。無論單變量或多變量，有限
→ chemmachine : 制式或限制式是不等式都是考慮這三種情形
→ chemmachine : 當然最後別忘了你的0.5次，不過那個不影響結果。