[分析] Lagrange乘數法是否saddle (500p)

[znmkhxrw (QQ)]

首先謝謝L大與c大的一起討論 500p奉上

我對於Lagrange function微分卡住的點完全就是c大那個配方可以解決

所以可以解出x_i=1/n for all i

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但是現在有個極大問題點是：

lagrange算出來的(xi,lamda)有可能是 saddle , local max, local min

我昨晚查了以前筆記&網路例題 都是直接說他是local extreme然後在再去看函數值誰大

直接忽略掉鞍點可能性

但是照這個定理的證明來看 只能確保local extreme一定有乘數關係(lamda)

反之不一定

如果今天f在解出來的那個點(p_1,...,p_n)是local extreme without restraints

那加上restraints也會是同型的local extreme

但如果是下面例子：

以f(x,y)= x^2y^2 , x+y=1 舉例, lamda我用a代表

F(x,y,a)= x^2y^2 -a(x+y-1)

令F_x=F_y=F_a=0 解得(x,y,a)的可能性是(0,1,0) , (1,0,0) , (1/2,1/2,1/4)

我們考慮(x,y) = (1/2,1/2)的話

畫圖或是硬爆確實可得f在(1/2,1/2)有local max w.r.t. x+y=1

但f在(1/2,1/2)是saddle point without restraints
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總之 除了下面三種方法

1.畫圖

2.寫出限制條件的顯函數硬爆

3.碰巧沒限制條件時在該點是local extreme

有沒有其他方法可以判斷lagrange算出的點是否saddle


P.S.

(a) 我目前有找到lagrange算出的點是saddle的例子 但是那例子該點grad f = 0

    目前朝著 grad f, grad g都不為零當條件去嘗試 (g是限制函數)

    (因為以等位線來看, 相切的地方幾乎不可能是鞍點, 只有f等位線很醜時才可能)

(b) wiki有說到充分條件：

    Sufficient conditions for a constrained local maximum or minimum can be
    stated in terms of a sequence of principal minors (determinants of
    upper-left-justified sub-matrices) of the bordered Hessian matrix of
    second derivatives of the Lagrangian expression

    如果是這個的話，為什麼每個例題都沒用到這個就能斷定非saddle？

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推 Vulpix      : 你想要找的東西就是高階導數判定，談Hessian就是在
→ Vulpix      : 看二階判定。那可以用Hessian是否正定或負定來確定
→ Vulpix      : 是否是極值。但一般做習題的時候，常常有以下狀況：
→ Vulpix      : 1.函數在邊界發散至無窮大→這樣我們想找的global
→ Vulpix      : min.只有一個，比函數值就好。2.自變量範圍compact
→ Vulpix      : →那連續函數必有max.和min.，最大和最小的那兩個就
→ Vulpix      : 是了。其實只是因為，我們通常想找最大值或最小值，
→ Vulpix      : 而且是顯然存在的那種，所以才忽視saddle。
→ Vulpix      : 就像f(x)=(x^2-1)^2顯然最小是0，我們就不微分了。
→ Vulpix      : 即使微分了，得到f'(x)=4x*(x^2-1) => x=0,1,-1，
→ Vulpix      : 也只會代回去算f(1)=0=f(-1),f(0)=1，然後就說1和-1
→ Vulpix      : 那兒有最小，0那兒有極大。除非題目很龜毛，否則根
→ Vulpix      : 本不會花力氣去算f"(x)=12x^2-4，然後f"(1)=8=f(-1)
→ Vulpix      : 還有f"(0)=-4。
→ Vulpix      : 如果題目是說要找所有local extrema，而且候選人很
→ Vulpix      : 多，那就需要高階導數判定。例題一直都是這種樣子，
→ Vulpix      : 就像各種工數用書，明明很多級數解的解題過程只適用
→ Vulpix      : 於x>0，然後還想要算收斂半徑；又或者在分離變數解
→ Vulpix      : ODE的時候，都不考慮分母是不是0、積分1/x後的ln|x|
→ Vulpix      : 的絕對值等。都是因為瑣碎才在例題中捨棄的。
→ znmkhxrw    : V大你講的是沒有限制函數的吧??
→ znmkhxrw    : restricted on g(x,y)=C
→ Vulpix      : 你可以自己弄一個f限制在g=0上長成(x^2-1)^2，例如
→ Vulpix      : f(x,y)=(xy-1)(x^2-1), restrict on x-y=0.
V大不好意思 我聽不懂你意思耶 可以請您以下面這例子做論證嗎？
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使用lagrange乘數法

證明(1/2,1/2) 是 f(x,y)=x^2y^2 restriced on S:={(x,y)€R^2│x+y=1} 的local max

pf: 用lagrange乘數法, 已得知(1/2,1/2)可能是f在S上的saddle, local extreme

    因為 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

    所以 (1/2,1/2)是f在S上的local max
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麻煩您說明 XXXXX 的地方 謝謝!
※ 編輯: znmkhxrw (220.128.169.29), 12/29/2017 13:14:20