→ Desperato : 覺得不需要uniform continuous 照定義硬幹就好 12/30 17:48
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 01/01/2018 09:48:30
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 01/01/2018 10:00:44
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 01/01/2018 10:11:00
───────────────────────────────────────
謝謝大家的回答，下面是 znmkhxrw 的作法，我就是看這個懂的，覺得蠻不錯的，
給其他有同樣疑問的人參考看看。
------------------------------------------------------------------------------
Let f：R→R
if for any x€R, lim f(y) exists
y→x
then g(x):= lim f(y) is continuous on R
y→x
<pf>
Choose any a€R
Since lim f(y) exists = g(a), for any ε>0, there exists δ_ε>0
y→a
s.t. when 0<│y-a│<δ_ε , we have│f(y)-g(a)│< ε ----(A)
Now consider any x€R s.t. 0<│x-a│<δ_ε, hence │f(x)-g(a)│< ε----by (A)
Again since lim f(y) exists = g(x), for any ε>0, there exists D_ε>0
y→x
s.t. when 0<│y-x│<D_ε , we have│f(y)-g(x)│< ε ----(B)
Now let R_ε= min{D_ε, x-a, a+δ_ε-x}, where x>a
(如果x在a的左邊，就取min{D_ε, a-x, x-(a-δ_ε)}
and choose z€R s.t. 0<│z-x│< R_ε
Finally, 0<│z-x│< R_ε implies
(1) 0<│z-x│< R_ε≦D_ε => 0<│z-x│< D_ε=> │f(z)-g(x)│< ε --- by (B)
(2) 0<│z-x│< R_ε≦x-a => │z-x│< x-a => z > a
0<│z-x│< R_ε≦a+δ_ε-x => │z-x│< a+δ_ε-x => z < a+δ_ε
hence a < z < a+δ_ε, we have │f(z)-g(a)│< ε --- by (A)
From the above and triangle inequality,
│g(x)-g(a)│< 2ε , for any x€R, 0 <│x-a│< δ_ε
---------------------------------------------------------
備註：
非常仔細寫的話感覺很複雜，但是設計觀念純粹就是下圖：(x在a右邊為例)
──┼────┼──┼─────┼────────┼─────────┼──
a x-R_ε z x x+R_ε a+δ_ε
Step1：針對a點，取跟f在a點極限存在的δ_ε, 去討論在這個範圍的x
Step2：針對x點，取跟f在a點極限存在的D_ε並且希望他塞在(a,a+δ_ε)間
所以才會取R_ε
結束
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 04/09/2018 18:43:47
Let f:R→R be a function such that lim_{t→a}f(t) exists for each a in R.
Show that the function g:R→R defined by g(x)=lim_{t→x}f(t) is continuous.
不知道怎麼解這題，也看不懂別人的解答，去了stackexchange還是看不懂，從R裡面
選一點p，請問我該怎麼得到g在p連續?也就是給一個正數ε，怎麼找到正數δ使得
若|x-p|<δ，則|g(x)-g(p)|<ε?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.193.88.184
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1514626026.A.797.html
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/30/2017 17:42:42