Re: [中學] 請問幾題對數

[freePrester (Prester)]

※ 引述《jenshi (小旭)》之銘言：
: 1.若log_a(b)、log_b(a)都有意義且皆為整數，則log_a(b)+log_b(a)=?

令 log (b) = m 、 log (a) = n ， m 和 n 為整數
      a              b

                         /    \n
    m         n          |  m |
則 a  = b 、 b  = a  =>  | a  |  = a
                         \    /

    mn
故 a   = a  => mn = 1

又兩者為整數，所以 m = n = 1 或 m = n = -1

得所求 = 2 或 -2

: 2.設n為正整數且n^3為3位的整數，n^6為6位的整數，n^9為9位的整數，則n=?

  /
  | 2 <= 3log n < 3
  |                        8
 <  5 <= 6lon n < 6   得  --- <= log n < 1
  |                        9
  | 8 <= 9log n < 9
  \

又 n 為整數，故僅當 n 為 8 或 9 時為所求

: 3.設a,b,c,d皆為正整數且滿足log_a(b)+log_b(a)=c^5+d^5及a+b+c+d=2018，
:   則a^c+d^b=?

WOLG ，設 a <= b

令 log (b) + log (a) = n 為整數，且兩者互為倒數，再令 log (b) = x
      a         b                                        a
                              _______
                             / 2
        1               n + v n  - 4
則 x + --- = n  => x = ---------------
        x                    2

      2                         2        2
可得 n  - 4 要為完全平方數，令 n  - 4 = k

     2    2
=>  n  - k  = 4

=> (n + k)(n - k) = 4

      /                         /
      | n + k = 4               | n + k = 2
解為 <             （不合） 或 <
      | n - k = 1               | n - k = 2
      \                         \


故 n = 2 推回 log (b) = log (a) = 1 => a = b 且 c = d = 1
                 a         b

得 a = b = 1008 ，所求 = 1008 + 1 = 1009

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.24.15.13
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1514872695.A.296.html
推 LPH66       : log 8 ≒ 0.903 > 8/9
→ freePrester : 對耶…感謝
※ 編輯: freePrester (114.24.15.13), 01/02/2018 14:27:07
推 jenshi      : 抱歉，若考試中無對數表可查，2.不知道是否有方法@@
→ freePrester : log 2 和 log 3 不是一定要記的嗎…？
→ freePrester : log 8 = 3log 2 、log 9 = 2log 3
→ Desperato   : log 1 到 log 10 都是要記的
→ Desperato   : 雖然實際上只有log 2, log 3, log 7 要記
→ jenshi      : 對齁，實際上只用到log2、3：）
推 Tiderus     : 這邊有個疑問：整數為底，指數為根號類的無理數，
→ Tiderus     : 這樣的數有沒有可能是整數？
推 Desperato   : No, except base = 0 or 1
→ Desperato   : due to Gelfond–Schneider theorem
推 Tiderus     : 謝D大