→ yyc2008 : 前提要是能對角化 01/04 22:55
→ x0940640406 : 感謝大大 要是我能像你這麼厲害 我應該也會覺得很 01/05 10:09
→ x0940640406 : 神奇QQQ 01/05 10:09
※ 引述《x0940640406 (smile)》之銘言：
: 工數我真的很弱啊～老師又講的很快 一直拼命的上 拜託有沒有哪位大大可以教我這題～～感恩～寄信給我也行
: https://i.imgur.com/q6zLHG5.jpg
如果一個linear operator把函數送到它的倍數,
我們叫這種問題eigenvalue problem.
考慮這個聯立方程式:
a1 x + b1 y = λx
a2 x + b2 y = λy
跟解這個矩陣方程式是一樣的意思:
－ － － － － －
| a1 b1 | | x | | x |
| | | | = λ | | <=> AX = λX <=> (A-λI)X=0
| a2 b2 | | y | | y |
－ － － － － －
解這個方程式就是一個eigenvalue problem.
這個方程式有一個顯然解X=0,
要有nontrivial soluion就代表要有無限多組解,
也就是克拉瑪公式的D要等於零.
解這個特徵方程式: det(A-λI)=0,
可以得到一個二次方程式λ^2 + mλ + n = 0,
解出的λ稱為eigenvalue, 相對應的解向量X稱為eigenvector.
再以矩陣合併方程式的解可得:
－ － － － － － － － － －
| a1 b1 | | x1 x2 | | λ1x1 λ2x2 | | x1 x2 | | λ1 0 |
| | | | = | | = | | | |
| a2 b2 | | y1 y2 | | λ2y2 λ2y2 | | y1 y2 | | 0 λ2 |
－ － － － － － － － － －
<=> AQ = QD <=> A = QDQ^(-1).
其中Q代表eigenvector組成的矩陣, D代表eigenvalue作為主對角線的對角矩陣.
因為對角矩陣的任意次方容易計算, 所以A的任意次方也很容易計算:
A^n = Q D^n Q^(-1).
我們重新以矩陣D合併特徵方程式的兩個解, 得到:
D^2 + mD + nI = 0.
此時在方程式左邊乘上Q, 右邊乘上Q^(-1)就可得到:
QD^2Q^(-1) + mQDD^(-1) + nQIQ^(-1) = 0.
<=> A^2 + mA + nI = 0 !!
我們於是可以拿這個多項式簡化高次矩陣多項式f(A)的運算.
不覺得很神奇嗎?
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