[中學] 根號多項式的範圍

[thr3ee (亞澤蛙 妮可)]

轉貼至昌爸工作坊的一題

若a,b,c>0, a+b+c=1, 試求(1-2a^2)^0.5+(1-2b^2)^0.5+(1-2c^2)^0.5

在原討論區已經有人貼出做法了
不過我覺得它的範圍討論不是很嚴格
希望能夠求得簡潔的做法

補充一下 是求範圍 昨天可能少打到這句
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http://imgur.com/QTIXoZQ
取自萌娘百科-Niconiconi*20.gif( zh.moegirl.org/zh-tw/File:Niconiconi*20.gif )

http://imgur.com/WiJ9BQl
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→ Desperato   : 是定值嗎 還是求最大最小值
→ Desperato   : 有特別說2a^2 <= 1嗎
推 Starvilo    : 有連結嗎~有範圍應該就有2a^2 <= 1
→ Desperato   : 因為sqrt(1-2x^2)是開口向下的函數
→ Desperato   : by Jensen ineq 原式<=sqrt(1-2(1/3)^2)
→ FAlin       : 原題考最大最小值
推 Tiderus     : 麻煩的是最小值
推 Starvilo    : 至少大於2~
→ Desperato   : 把a,b,c視為三軸 這時範圍會是一個六角形
→ Desperato   : 如果不考慮六角形限制 炸拉格朗日會有唯一最大值
→ Desperato   : 因此最小值會發生在邊界
→ Desperato   : 由於對稱性 加上一點說明 最小值在6個點
→ Desperato   : a=0,b=1/sqrt(2),min=1+sqrt(2sqrt(2)-2)=1.91
→ Desperato   : 即使不用拉格朗日 也能說明固定c時 a,b離越遠值越
→ Desperato   : 小 根據這個原則就能把最小值拉到邊界6點
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.10), 01/06/2018 17:42:59
→ Tiderus     : 六角形推導至結論的過程如何操作呢？想不出。