Re: [中學] 等差級數問題

[duckie (達奇)]

※ 引述《zoayzoay (陋衣)》之銘言：
: 請教一題
: 甲、乙同時跑ㄧ圓形操場，甲第一圈跑100秒，第二圈跑97秒，如此每圈減少
: 3秒進行；乙每圈固定跑80秒，試問：甲經       秒後恰可追上乙?

觀察甲乙每圈跑的秒數:

              甲             乙

第1圈完      100 秒          80 秒
第2圈完       97 秒          80 秒
第3圈完       94 秒          80 秒
第4圈完       91 秒          80 秒
  :            :               :
第n圈完    100-3(n-1) 秒     80 秒


可發現甲一直落後乙 直到甲開始跑得比乙還快 (<80秒/圈) 才能慢慢縮短差距

假設甲第n圈跑完的總秒數S_n 已經小於或等於乙跑n圈的總秒數 (即甲追過或追上乙):

S_n = 100+97+94+91+...+[100-3(n-1)]≦80*n => 20+17+14+13+...+[20-3(n-1)]≦0
                _
=> n≧43/3 = 14.3

所以第15圈跑完甲就已經超過乙

至於第14圈跑完 甲花了S_14 = 共1127秒 乙則是80*14 = 共1120秒

意思是當甲剛跑完14圈時 乙早已經跑完14圈 還再往前跑了7秒鐘

若一圈操場距離是L 乙速率L/80

則乙又跑了L/80*7的距離

此時的甲第15圈速率 =  L / a_15 = L / [100-3(15-1)] = L/58

假設再經過x秒後 甲追上乙 則

甲跑的距離 = L/58 * x = L/80 * (7+x) = 乙往前跑了(7+x)秒的距離

x = 203/11 = 18又5/11秒

故需經過跑完14圈的總秒數再加上18又5/11秒 也就是1145又5/11秒 甲才追上乙


若有誤請不吝指正 謝謝


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※ 編輯: duckie (110.27.65.239), 01/07/2018 02:33:42
推 kbccb01     : 我也是算這樣 但我還有考慮乙比甲剛好多一圈的情況:
→ kbccb01     : 一直到第7圈甲每圈秒數仍大於乙(速率小於)此時甲637
→ kbccb01     : 秒7圈,乙7.9多圈為最大差距,接著甲速率就>乙而距離
→ kbccb01     : 拉短 所以這種情況下沒有解
推 u840973     : 我有考慮到若甲跑完第n圈的瞬間(進入第n+1圈)，速率
→ u840973     : 瞬間提升之設定不合理(加速度會無限大)，甲在同圈速
→ u840973     : 率應該是有變化的，第15圈之情況還要再詳細分析。
→ Desperato   : 我是在想 被乙超過很多圈後 甲第一次追上算不算
→ Desperato   : 不然硬幹秒數很快就能得到估計圈數
→ kbccb01     : 乙最多超過甲0.9多圈啊 接著甲速度就比乙快而把距離
→ kbccb01     : 拉會來了
→ kbccb01     : 另外 若乙超過甲n圈,那是乙追上甲,接著n.多圈時甲速
→ kbccb01     : 度始>乙,一段時間後差距拉回n圈才算第一次追上乙