推 kbccb01 : 我也是算這樣 但我還有考慮乙比甲剛好多一圈的情況: 01/07 02:46
→ kbccb01 : 一直到第7圈甲每圈秒數仍大於乙(速率小於)此時甲637 01/07 02:46
→ kbccb01 : 秒7圈,乙7.9多圈為最大差距,接著甲速率就>乙而距離 01/07 02:46
→ kbccb01 : 拉短 所以這種情況下沒有解 01/07 02:46
觀察甲乙每圈跑的秒數:
甲 乙 甲跑完一圈後乙多跑的累進距離(設操場周長=L)
第1圈完 100 秒 80 秒 20*L/80 (乙速率=L/80) < L
第2圈完 97 秒 80 秒 (20+17)*L/80 = 37L/80 < L
第3圈完 94 秒 80 秒 (20+17+14)*L/80 = 51L/80 < L
第4圈完 91 秒 80 秒 (20+17+14+11)*L/80 = 62L/80 < L
: : : :
第n圈完 100-3(n-1) 秒 80 秒 (43-3n)n/2*L/80
(n為正整數)
所以每當甲跑完一圈 乙就離甲 (43n-3n^2)/160 * L 的距離, 配方法得
[-3(n-43/6)^2/160 + 1849/1920]*L, 當n = 7圈時差距將近最大值 77L/80 < L
甲乙差距仍小一圈 而到了第8圈差距就變小 所以我就沒有討論這個部分
推 u840973 : 我有考慮到若甲跑完第n圈的瞬間(進入第n+1圈)，速率 01/07 12:56
→ u840973 : 瞬間提升之設定不合理(加速度會無限大)，甲在同圈速 01/07 12:56
→ u840973 : 率應該是有變化的，第15圈之情況還要再詳細分析。 01/07 12:56
其實這個部分就已經不算是等差數列與等差級數了
如果要符合這種情形 就必須以x-t圖 (y軸表示跑的距離 x軸表示時間)來想
假設操場一圈L
甲的x-t情形:
時間(秒數)
起點 = 0 0
第1圈 = L 100
第2圈 = 2L 100+97
: :
第n圈 = nL (203-3n)n/2
因為不能每一圈跳一個級距 故n為實數 且n>=0
甲的x-t圖之動點P(x,y) = ( (203-3n)n/2, nL ), x,y皆>=0
n = y/L 代入 x = (203-3n)n/2
整理得甲的x-t曲線: y = L/6*[203-(41209-24x)^0.5]
乙的x-t情形:
時間(秒數)
起點 = 0 0
第1圈 = L 80
第2圈 = 2L 160
: :
第n圈 = nL 80n
同樣n為實數 且n>=0
乙的x-t圖: y = L/80*x
甲乙花了相同時間 來到相同的位置 => 求兩圖交點
L/6*[203-(41209-24x)^0.5] = L/80*x
x(9x-10320) = 0
_
x = 0 秒 or 10320/9 = 1146.6 秒 (0秒為起點 故不合)
_ _
y = 14.3 L 即 14.3 圈
p.s x-t圖的y軸其實是指位置 而非跑的距離 但跑圓形操場時每一圈回到原點就變成0
操場位置又要用極座標表示
又因為之前討論發現其實沒有乙多跑一圈以上 甲才碰到乙的問題
所以我就轉換成跑直線的情形
如果有誤請指教 謝謝~
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★ 聽說今天的星星很漂亮…可惜我看不到…
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※ 編輯: duckie (110.28.100.221), 01/08/2018 00:25:26
推 u840973 : 讚 !! 01/08 01:52
推 kbccb01 : 2.的話其實反而比較好算 直接解便是;原(203-3n)n/2 01/08 01:58
→ kbccb01 : 秒跑n圈只適用於n=正整數，如今實數都符合那麼甲乙 01/08 01:58
→ kbccb01 : 相遇秒數(203-3n)n/2=80n,n=43/3,代回80n=你的答案 01/08 01:58