推 Desperato : 推 原來兩個變數可以用兩次不等式 01/11 15:24
→ testishard : 十分感謝<(__)> 01/11 15:39
推 kbccb01 : 這高中板有人問過哈哈 01/11 22:21
※ 引述《testishard (testishard)》之銘言：
: 若x>1且y>4，求
: y^2 x^2
: ------- + ------- 的最小值是多少？
: x-1 y-4
: 請教各位高手這一題，想了好久解不開…都失眠了
: 拜託，謝謝
利用變數便換取 a=x-1>0 => x= a+1，b=y-4>0 => y=b+4
原式：(b+4)^2/a + (a+1)^2/b
由柯西不等式可知 [(b+4)^2/a + (a+1)^2/b][a+b] ≧ (a+b+5)^2
=> (b+4)^2/a + (a+1)^2/b≧ (a+b) + 10 + 25/(a+b)
再由算幾不等式可知
=> (b+4)^2/a + (a+1)^2/b≧ (a+b) + 10 + 25/(a+b) ≧10+2√25=20...最小值
等號成立於 a+b=5，b+4/a = a+1/b，得 a=3, b=2 所以(x, y)=(4, 6) #
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 124.219.38.8
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1515653203.A.D70.html