Re: [分析] 證明一多維函數趨近infinity(500p)

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言
: 請問一下
: let  p(a_1,...,a_p,x) = a_p*x^p + .... + a_0 為一p次實多項式, p>=1
: and  X:={x_1<...<x_n}
: Y:={y_1,...,y_n} , where n-1>=p
: n
: F(a):= Σ (p(a,x_k) - y_k)^2 , where a=(a_p,...,a_0)
: k=1
: Prove    lim  F(a) = +∞
: │a│→∞
: 記得並非找到a的某個方向趨近於無窮(│a_n│→∞)就能說F是無窮大
: 若有反例請不吝告知，謝謝
: --------------------------
: 想法:
: 若a只有某個方向的分量a_i，定理成立，怕的是其他分量會互相抵銷
: 但是又寫不出能證出來的form 說不定有反例??
: 有證明 or 給反例500p 感恩!

假設a_0能動 就是a也有a_0分量

給定定值 M>0, 設 I_n = [y_n - M, y_n + M]
然後在各個I_n中任取y_n'
現在在 n 點 y_n' 中任取 p+1 點 作為集合A
和其對應的 x_n 炸拉格朗日p次多項式 f(x)
接著考慮 f(x) 所有係數的平方和 S(x)

由於 f(x) 每一項係數 都是集合A元素的連續函數
因此 S(x) 也是集合A元素的連續函數
而集合A元素的範圍是一堆 I_n 相乘 compact
因此 S(x) 的範圍也是 compact 特別是 bounded

剛才任選  p+1 點有 C(n, p+1) 種方式
那就把所有方式算出的 S(x) 的 bounded 取  max

因此我們就證出了 給定 p(x)
如果 X 集合上的點代入 p 後
距離其對應的 Y 集合上的點 距離不超過 M
則必定屬於上面的某個 f(x)
因此其係數平方和就會有上限

也就是說 如果 p(x) 的係數平方和超過那個上限
那就至少有一點  x_i 代入 p(x) 距離 y 超過 M
因此 F(a) > M^2

所以 F(a) 不可能有 bound 那只好無限大啦ow o

  

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→ Luke2000: 台灣唯一可以考慮與中國統一的條件是中國願意接受台灣獨  10/11 08:21
→ Luke2000: 立。好好思考一下我這句話。                            10/11 08:21

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→ Desperato   : 反正 a_0 不能動就 restrict 就好
→ Desperato   : 對了 我覺得最小方差法可能也能做
→ Desperato   : 至少不用跟拉格朗日一樣 要取p+1個點
→ Desperato   : 但我對最小方差法很不熟 我只會拉格朗日qw q
推 znmkhxrw    : 可以動我筆誤
→ znmkhxrw    : 但是你證出F不可能有bound 並沒有導出我要的結果耶Q
→ znmkhxrw    : Q
推 znmkhxrw    : F不可能有bound只有得到我說"記得"那邊
→ Desperato   : 你是指定a的行進方向得到無窮 那樣當然會方向舉不
→ Desperato   : 完
→ Desperato   : 我是只要在某個ball外面 都會變超大XD
→ Desperato   : 概念上跟 x^2y/(x^4+y^2) 在 (0,0) 有沒有連續一樣
推 znmkhxrw    : 我是看到你結論:F(a) 不可能有 bound 那只好無限大
→ znmkhxrw    : 才會這麼回
→ Desperato   : 如果是指定方向進入 那例子會舉不完
→ znmkhxrw    : 這麼說你是證出：任給M>0, 存在r>0 使得當│a│>r
→ Desperato   : 用ball趨近於0解決就好
→ znmkhxrw    : 我們都有 F(a)>M 嗎?? 如果是的話我跟著走一遍 謝謝
→ Desperato   : 對 就是那個意思
→ Desperato   : 只是那個|a| 在文章中叫做平方和
→ Desperato   : 抱歉懶得打英文字 因為是手機打的
推 znmkhxrw    : 欸欸不好意思 你的f是我的F嗎??
→ Desperato   : 簡單的概念就是
→ znmkhxrw    : 然後f(a)? f(x)?  S(x)? S(a)?
→ Desperato   : 小f和大F不一樣
→ znmkhxrw    : 我先聽idea好了 盲目跟著跑完全沒有頭緒XDD
→ Desperato   : f(x)和p(x)一樣是多項式 把x當變數
→ Desperato   : 嗯嗯
→ Desperato   : 簡單來說 對每個x 如果希望平方差 (p(a;xi)-yi)^2
→ Desperato   :  每個都不超過某個  M^2
→ Desperato   : 那就可以證明係數 a 有上限
→ Desperato   : 其實就這樣而已
→ Desperato   : 啊啊 請把所有S(x)改成 S(f)
→ Desperato   : 或是照你的寫法 f(A;x) 和 S(f;A)
→ Desperato   : f是x的多項式 f的係數是A的多項式
→ Desperato   : S是用f的係數算出來的 所以S是A的多項式
→ Desperato   : RRR 我開電腦重打吧ow o
→ Desperato   : 好了 打了另ㄧ篇
推 znmkhxrw    : 看到了 謝謝~忙完細看