推 znmkhxrw : 不好意思明晚才有時間看XD 500p先付了^^" 01/11 23:32
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 請問一下
: let p(a_1,...,a_p,x) = a_p*x^p + .... + a_0 為一p次實多項式, p>=1
: and X:={x_1<...<x_n}
: Y:={y_1,...,y_n} , where n-1>=p
: n
: F(a):= Σ (p(a,x_k) - y_k)^2 , where a=(a_p,...,a_0)
: k=1
: Prove lim F(a) = +∞
: │a│→∞
: 記得並非找到a的某個方向趨近於無窮(│a_n│→∞)就能說F是無窮大
: 若有反例請不吝告知，謝謝
: --------------------------
: 想法:
: 若a只有某個方向的分量a_i，定理成立，怕的是其他分量會互相抵銷
: 但是又寫不出能證出來的form 說不定有反例??
: 有證明 or 給反例500p 感恩!
反正要重打 再打ㄧ篇賺P幣ow o
a = (a_0, a_1, ..., a_n)
p(a; x) = a_p x^p + ... + a_0
X = {x_1 < ... < x_n}, n-1 >= p
Y = {y_1 ... y_n}
F(a) = sum E_k(p, x_k, y_k)
E_k = (p(a; x_k) - y_k)^2
我們要證明的是 給定任意 M > 0
如果 E_k <= M^2 for all k=1...n 的話，則 |a|^2 必須要有上限 M'
因此當 |a|^2 超過 M' 時 則至少有ㄧ E_k > M^2, 因此 F(a) > M^2
方便起見 直接取前 p+1 的點 也就是現在 n = p+1
後面的點都無視 反正不管那些點 F(a) 一樣會炸掉
給定 a 使得 p(a; x) 符合 E_k <= M^2 for all k = 1, ..., n
則 y_i' = p(a; x_i) 滿足 y_i' in I_i = [y_i - M, y_i + M]
設 Y' = {y_1', y_2', ..., y_n'}
y' = [y_1', y_2', ..., y_n']
現在聯立 y_i' = p(a; x_i) for all x_i in X
我們可以得到 B a = y'
其中 B 是 x_i 組成的 Vandermonde 矩陣
因此可以得到 a = B^-1 y' (這個方法其實就是拉格朗日)
現在由於每ㄧ項 a_i 都是 Y' 的多項式(其實是ㄧ次式)
因此 |a|^2 = sum a_i^2 也是 Y' 的多項式 當然是連續的
由於 y' in prod I_i 是 compact
連續函數下的範圍也是 compact 那當然是 bounded
因此存在ㄧ個 M' 使得 |a|^2 <= M'
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嗯嗯ow o
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