推 znmkhxrw : 回了一篇問題再麻煩了 謝謝! 01/12 13:15
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 請問一下
: let p(a_1,...,a_p,x) = a_p*x^p + .... + a_0 為一p次實多項式, p>=1
: and X:={x_1<...<x_n}
: Y:={y_1,...,y_n} , where n-1>=p
: n
: F(a):= Σ (p(a,x_k) - y_k)^2 , where a=(a_p,...,a_0)
: k=1
: Prove lim F(a) = +∞
: │a│→∞
: 記得並非找到a的某個方向趨近於無窮(│a_n│→∞)就能說F是無窮大
: 若有反例請不吝告知，謝謝
: --------------------------
: 想法:
: 若a只有某個方向的分量a_i，定理成立，怕的是其他分量會互相抵銷
: 但是又寫不出能證出來的form 說不定有反例??
: 有證明 or 給反例500p 感恩!
若 n<p+1 時, 存在 a 沿某個方向走而 F(a) 恆為0.
例如 n=1=p, 點 (x0,y0), 則 a*x0+b = y0 使 F(a)=0.
一般, 若 n≦p, 則下列方程組有無窮解:
y_i = a_p*x_i^p+...+a_0, i=1,...,n
因此 F(a)=0, 對這些 a. 而當然, 這些 a 所形成的集合
(在 R^{p+1} 中) 是無界的.
若 n≧p+1, 則 F(a) 可以用矩陣和向量表示:
F(a) = ║Y-Xa║^2 = (Y-Xa)'(Y-Xa)
= Y'Y - 2Y'Xa + a'X'Xa
此處 Y 是 n ×1 行向量, a 是 (p+1) ×1 行向量, X
則是由 x_i^p,...,x_i,1 所構成的矩陣.
在 n≧p+1 條件下, X'X 是 positive definite,
用微積分很容易得知 F(a) 是 a 的 strictly convex,
有唯一最小值, 而往任何方向幅射出去都無界.
也就是說, lim F(a) = +∞
║a║→∞
--
嗨! 你好! 你聽過或知道統計? 在學或在用統計? 統計專業版 Statistics 在這裡↓
交大資訊次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率)
我們強調專業的統計方法、實務及學習討論, 只想要題解的就抱歉了!
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.224.62.208
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1515728762.A.1BC.html