Re: [分析] 證明一多維函數趨近infinity(500p)

[znmkhxrw (QQ)]

不好意思逐點問一下

※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言：
: 標題: Re: [分析] 證明一多維函數趨近infinity(500p)
: 時間: Fri Jan 12 11:45:59 2018
:
: ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: : 請問一下
: : let  p(a_1,...,a_p,x) = a_p*x^p + .... + a_0 為一p次實多項式, p>=1
: : and  X:={x_1<...<x_n}
: :      Y:={y_1,...,y_n} , where n-1>=p
: :         n
: : F(a):= Σ (p(a,x_k) - y_k)^2 , where a=(a_p,...,a_0)
: :        k=1
: : Prove    lim  F(a) = +∞
: :      │a│→∞
: : 記得並非找到a的某個方向趨近於無窮(│a_n│→∞)就能說F是無窮大
: : 若有反例請不吝告知，謝謝
: : --------------------------
: : 想法:
: : 若a只有某個方向的分量a_i，定理成立，怕的是其他分量會互相抵銷
: : 但是又寫不出能證出來的form 說不定有反例??
: : 有證明 or 給反例500p 感恩!
:
: 若 n<p+1 時, 存在 a 沿某個方向走而 F(a) 恆為0.
:
: 例如 n=1=p, 點 (x0,y0), 則 a*x0+b = y0 使 F(a)=0.
:
: 一般, 若 n≦p, 則下列方程組有無窮解:
:   y_i = a_p*x_i^p+...+a_0, i=1,...,n
: 因此 F(a)=0, 對這些 a. 而當然, 這些 a 所形成的集合
: (在 R^{p+1} 中) 是無界的.
:
:
: 若 n≧p+1, 則 F(a) 可以用矩陣和向量表示:
:    F(a) = ║Y-Xa║^2 = (Y-Xa)'(Y-Xa)
:         = Y'Y - 2Y'Xa + a'X'Xa
: 此處 Y 是 n ×1 行向量, a 是 (p+1) ×1 行向量, X
: 則是由 x_i^p,...,x_i,1 所構成的矩陣.
:
: 在 n≧p+1 條件下, X'X 是 positive definite,
: 用微積分很容易得知 F(a) 是 a 的 strictly convex,

這個是依據什麼定理?? 因為處處hessian > 0 所以全域凸函數嗎??
(我剛剛用定義證完了，不過還是好奇你用的微積分定理是??)

: 有唯一最小值, 而往任何方向幅射出去都無界.

凸函數on凸集合有local min 則為global min 我OK

但是如何知道:

(1) 有local min (任取一個compact ball, F restricted on ball有最小值,

                 這點如果在內點就local min 成立, 但很有可能在boundary

                 也就是說F restricted on ball 有global min是限制在ball而已)

(2) lim  F(a) = +∞
   ║a║→∞

: 也就是說, lim  F(a) = +∞
:           ║a║→∞

F(a)是凸函數 在某點有唯一global min

就像一個碗公散出去 但是這碗公可能長很慢然後有界
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以上幾點問題 感謝回答！


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.52.37
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1515734095.A.FFD.html
※ 編輯: znmkhxrw (210.242.52.37), 01/12/2018 14:30:54
→ Desperato   : 感覺是convex+往外輻射無界=真正無界
→ znmkhxrw    : D大是指任何直線方向輻射無界+convex嗎??
→ znmkhxrw    : 因為知道【任何直線方向逼近x都是極小值還是不能保
→ znmkhxrw    : 證x是極小值】的反例 所以才怕怕的
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謝謝y大D大 我直接用線代證出F(a)的上下界直接來證明


 lim  F(a) = +∞
║a║→∞

有了這個那global min就直接存在了
※ 編輯: znmkhxrw (220.128.169.29), 01/12/2018 19:07:30
→ yhliu       : Hessian > 0 正是嚴格凸函數的充分條件. 而且這條件
→ yhliu       : 在整個 R^{p+1} 都成立, 所以此 convixity 是全域的
→ yhliu       : 因為它有唯一臨界點, 加上凸性, 就保證了極小的存在
→ yhliu       : 因為有 monomum, 再加上凸性, 也就保證了(往任一方
→ yhliu       : 向) 都是上方無界, 也就是 tends to infinity.
→ yhliu       : 因為凸性就是曲線/曲面/超曲面會在一直線/(超)平面
→ yhliu       : 之上. 還可證明給予任一直線/(超)平面, 除在
→ yhliu       : 曲線/(超)曲面與此直線/(超)平面交集(如有相交)之內
→ yhliu       : 那封閉區域內以外, 曲線/(超)曲面都是在直線/(超)平
→ yhliu       : 面之上. 其實這可縮減至曲線/直線的情況來看, 也就
→ yhliu       : 是看任意特定方向.
→ yhliu       : #4: 因為有 minimum ...
→ yhliu       : 臨界點+凸性==>minimum, 這是微積分極值的第2判定法