Re: [其他] 根號(-2) = 根號(2)x(i) , x是乘號

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《AppleOuO (AppleOuO)》之銘言：
: 大家午安
: 我對“i “的定義是 i = 根號(-1) 且 (i)x(i) = (-1)
: 那麼請問一下
: 我要怎麼知道 根號(-2) = 根號(2)x(i)
: 好奇這問題的背景是：
: 剛剛看影片 有人說
: 根號(-1)乘根號(-1) = 根號[(-1)x(-1)] = 根號(1) = 1 為什麼不對
: 原因是 沒有人說在複數中
: 根號(a)x根號(b) = 根號[(a)x(b)]
: 所以才發現自己不知道為什麼
: 根號(-2) = 根號(2)x(i)
: 謝謝~


A. 一般來說 根號是給正數用而不是負數的

(Thm) 給定正實數 a 和正整數 n
      「存在」「唯一」正實數 x 滿足 x^n = a
      (pf) 證明省略

(Def) 稱此 x 為「n 次根號 a」，記作 x = (n)√a  (n要放在根號左上方)


例如 x^2 = 1 其實有兩個答案 1, -1
其中只有 1 是正的，因此 √1 = 1 而不是 -1

再來 x^4 = 16 有兩實根 2, -2 和 兩虛根 2i, -2i
但其中只有 2 是正實根，因此 (4)√16 = 2


在這個定義之下，很容易證明
(Prop) a, b為正實數，則 √(ab) = √a √b
       (pf) x = √a 滿足 x^2 = a 且 x > 0
            y = √b 滿足 y^2 = b 且 y > 0
            則 xy 滿足 (xy)^2 = x^2y^2 = ab 且 xy > 0
            可是 z = √(ab) 也滿足 z^2 = ab 且 z > 0
            既然正實根只有一個，因此 xy = √a √b 就是 z = √(ab)




B. 現在我們希望把根號的定義拓展到負實數 甚至到複數上面去
如果只考慮負實數和奇數次根號的話 那可以這樣定義

(Thm) 若 a 為負實數，n 為正奇數
      則有唯一一個負實根 x 滿足 x^n = a

(Def') 稱此 x 為「n 次根號 a」，記作 x = (n)√a


例如 x^3 = -8 有一個實根 -2 和兩個虛根 1+i√3, 1-i√3
其中只有 -2 是負實數，則稱 (3)√(-8) = -2


但是偶數次根號的情況，事情就沒這麼簡單了

例如 x^2 = -1 沒有實根，有兩個虛根 i, -i
那要選哪個當成 √(-1) 比較好呢?
有些人會說，啊你都定義 i = √(-1) 了，幹嘛要選負的那個

那麼 x^4 = -4 沒有實根，有四個虛根 1+i, -1+i, -1-i, 1-i
選哪個當成 (4)√(-4) 比較好呢?
有些人會說，有一個根 1+i 實部和虛部都是正的，那就選它吧

那麼 x^6 = -64 沒有實根，有六個虛根 √3+i, i, -√3+i, -√3-i, -i, √3-i
選哪個當成 (6)√(-64) 比較好呢?
是看起來很乾淨的 i 嗎? 還是實部虛部都正的√3+i?
說到底這兩根有哪裡比別人厲害 一定要選他們嗎?




C. 這種時候，不把複數平面搬出來，會蠻難做下去的

(Prop) 無論 a 是正實數、負實數、或是根本就是複數，只要 a 不是 0
       給定正整數 n，方程式 x^n = a 總有 n 個複數根(含可能的實數根)
       其中會有一個 x 在複數平面上，與實部軸(Re)正向的夾角最小
       (夾角只能是從實部軸正向，逆時針轉的角度，不能順時針轉)

(Def) 則稱此 x 為 a 的「n 次(複數)根號 a」，記作 x = (n)√a


https://i.imgur.com/fTzpkw7.png

因此可以從圖中看到
x^2 = -1         √(-1)  = i
x^4 = -4      (4)√(-4)  = 1+i
x^6 = -64     (6)√(-64) = √3+i


特別注意，在C這裡定義的複數方根
  和 A 定義的正數方根是相容的  (下圖左邊) (其實就是0度)
但和 B 定義的負數方根是衝突的  (下圖右邊)

https://i.imgur.com/OHvwQbd.png

我們會視情況採取其中一個定義，例如實數上的微積分很常用B的定義
但基本上，偶數次方根沒有別人，一定是使用C的定義


另外，複數方根的 √(ab) = √a √b 不一定會成立
畢竟原本定義取的是「最小角度」
兩個方根乘一乘之後，角度可能就不是最小的了

雖然在這邊沒有證明，兩複數相乘時，角度會相加
當 a, b 為正實數時之所以會對，是因為正實數角度是 0 度，怎麼加都是 0 度

例如 √(-1) 在複數平面上是 90 度角
則 √(-1) √(-1) = -1 在複數平面上就會變成 90 + 90 = 180 度角
但是顯然 √[(-1)(-1)] = √1 = 1 角度回到 0 度角去了



D. 所以我們來回答問題吧，根據C的定義

√(-2) 是 x^2 = -2 的兩複數根 i√2, -i√2 中
和正實部軸夾角比較小的那個 (90度, 270度)
也就是 i√2，因此 √(-2) = i√2



懶人包：√(-2) = i√2 是定義



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嗯嗯ow o

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→ AppleOuO    : 有 謝謝><
推 AppleOuO    : 晚點會看~ 真的很謝謝!!
推 arthurduh1  : 認真文出現了ww
推 harrybbs    : 好文
推 icedlemon   : 推，之前一直對n次方根裡面的數字不是正實數時的定
→ icedlemon   : 義很疑惑，這篇讓我清楚很多
推 Tiderus     : 只能推了
推 kbccb01     : 推推推推
推 HeterCompute: x^6的根是2i和-2i，不是i和-i
→ recorriendo : 故事還沒講完啊 你的C.定義在正實軸那邊是不連續的
→ recorriendo : 正實軸是cut  事實上可以視需要自由的定義方根函數
→ recorriendo : 但是不管怎麼定義一定會有cut 甚至可以選擇cut不是
→ recorriendo : 直線的定義!
→ Desperato   : 推兩樓 我看看這要怎麼改w
→ Vulpix      : 不把複數平面拉來用的話，就是找primitive root，2i
→ Vulpix      : 真的比較不好，因為平方就是-4了。
推 znmkhxrw    : 推推 還真的沒想過高中那些複數開根號乘除規則過XDD
推 alan23273850: PUSH PUSH