Re: 代數學（問題請教

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《winnie31927 (xuanxuan)》之銘言
: https://i.imgur.com/bUDQ3tT.jpg
: https://i.imgur.com/vvEJTDJ.jpg
: 有人會嗎？


其實這些都基本的問題

3. 首先要知道cycle是什麼
設 a = (1 2 3) 則 a 是一個可以代數字的函數 滿足
i. a(1) = 2
ii. a(2) = 3
iii. a(3) = 1
iv. a(i) = i, i其他

現在 s = sigma = (1 4)(3 4 7 6)
代數字的時候 先代右邊 再代左邊的cycle
i. s(1) = 4
ii. s(4) = 7
iii. s(7) = 6
iv. s(6) = 3
v. s(3) = 1 其中3會先變成4再變成1

所以其實 s 就是 (1 4 7 6 3)
t = tau = (2 5 8)
兩個cycle沒有一樣的數字 視為彼此獨立

s^2 = (1 4 7 6 3)(1 4 7 6 3) = (1 7 3 4 6) (自己做)
因此 s^2 t = (1 7 3 4 6)(2 5 8)

若 a 為長度 n 的 cycle 則 a^n = ( ) (不改變任何數字)
因此 s^5 = ( )
s^43 = s^3 = (1 6 4 3 7)  (自己做)

inverse 基本上就是順序全反過來
所以  s^(-1) = (3 6 7 4 1)
不過一般我們喜歡 1 在最前面
每個 cycle 都可以把 第1個數字挪到最後1個
(或反過來) 而維持同樣的 cycle
所以 s^(-1) 也是 (1 3 6 7 4)
因此 s^(-1) t = (1 3 6 7 4)(2 5 8)

現在 s^(-1) 和 t 是獨立的
所以就自己玩自己的 然後再通通乘起來就好
<s^(-1)> = {1, s, s^2, s^3, s^4}
<t> = {1, t, t^2}
<s^(-1) t> = { s^i t^j | i=0,1,2,3,4 , j=0,1,2 }


13. 假設 Z2 x Z5 有個元素 (1, 0)
經過 homo 到 Z3 x Z7 變成 (a, b)

記得 homo f 滿足以下性質
i. f(x+y) = f(x) + f(y)
ii. 根據 i. 會有 f(0) = 0
iii. 根據 i. 會有 f(n x) = n f(x), n 正整數

現在 f((1, 0)) = (a, b) 所以用 iii. 左右乘以 2
得到 f((0, 0)) = 2(a, b) = (2a, 2b)
用  ii. 得到 (2a, 2b) = (0, 0)
可是 2 在 Z3 是乘法可逆的(反元素是2)
2 在 Z7 也是乘法可逆的(反元素是4)
因此其實 a 和 b 都是 0

用類似的方法可以證明 f((0, 1)) 也必須是 (0, 0)
可是顯然 Z2 x Z5 是由 (1, 0) 和 (0, 1) 生成的
因此大家丟過去都變 (0, 0)

所以 Z2 x Z5 到 Z3 x Z7 的 homomorphism
只有一個 就是大家丟過去都消失的 trivial homo



  

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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.217.128.13
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1515772289.A.6C8.html
→ yyc2008     : 先代右邊 再代左邊的cycle 不就應從(3 4 7 6)開始代
→ yyc2008     : 不太懂為什麼s(3)不是 = 4 而是要跳2步 其他沒這樣
推 AppleOuO    : s(3), (3 4 5 6)代完是4 4再代入(1 4),代完是1
→ AppleOuO    : 我cycle剛學時常搞混 當初自己是代什麼東東進去
→ AppleOuO    : 你要知道自己代什麼東東進去 出來的是什麼?
→ yyc2008     : 我的意思是 為什麼不是s(3)=4 s(4)=1
→ Desperato   : 把 s 當成 (1 4) 和 (3 4 7 6)的composite
→ yyc2008     : 喔喔 謝謝D大
推 DLHZ        : 推詳細
推 winnie31927 : 請問自己做那邊要怎麼寫比較好？
→ Desperato   : 跟為什麼 (1 4)(3 4 7 6) = (1 4 7 6 3) 那邊一樣
推 winnie31927 : s^2那邊為什麼是（1,7,....)而不是(1,4,...)?
因為 s^2 是 (1 4 7 6 3)(1 4 7 6 3) 然後照定義做
s(1) = 7, s(7) = 3, s(3) = 4, s(4) = 6, s(6) = 1
推 winnie31927 :  https://i.imgur.com/CfEKbvU.jpg  要怎麼寫的跟這
→ winnie31927 : 個證明一樣的方法？
那個證明 當 f(1) 是任意 (m, n) 時 都會產生一個homomorphism
但是這邊這題是 f((1, 0)) 不管設成哪個 (a, b) 都會變成 a = b = 0
兩題在本質上有很大的差別
※ 編輯: Desperato (49.217.128.13), 01/15/2018 15:14:31
推 winnie31927 : S(1)=7 那個定義是從何而來的? 我們似乎沒教到那塊