Re: [其他] 1 + 2 + 3 + ... = -1/12 的網路影片

[tim32142000 (許B)]

轉自 孫超群 個人FB https://www.facebook.com/einsteinequation



https://goo.gl/etY4wM (限好友)

2014年5月12日

~~孫神淺談自然數的總和等於負十二分之一!~~

~~~~孫神初談自然數的總和(指數篇)~~~~

最近YOUTUBE和FB動態很多人都在談一個問題,

還有一些好友也透過私密訊息問我同一個問題,

這個問題就是:

"為甚麼自然數的總和等於負十二分之一?"

所以我就來簡單的談談這個問題.

其實自然數的總和數學上當然是無限大,

只不過物理學家經常在處理基本物理問題的時候,

發現所要計算的物理量必出現這類無限大,

但是物理量又必須是有限大,

這個矛盾怎麼解決呢?

物理學家花了約二十年的時間,

終於用正規化和重整化兩步驟解決了.

所謂正規化就是將原無限大,

寫成新無限大加有限大,

例如:自然數的總和=新無限大+(-1/12)

然後再用重整化把新無限大拋棄掉,

最後可把原無限大視為有限大,

例如:自然數的總和-->-1/12

詳細說明請見下列計算手稿:

https://i.imgur.com/WmpiEJd.jpg



https://goo.gl/4qf3m2 (限好友)

2014年5月13日

~~~~孫神再談自然數的總和(分式篇)~~~~

上次淺談了自然數的總和問題後,

引起很多人的按讚和分享,

我感謝大家捧場!

同時也接到不少好友更深入的問題,

所以我現在就再進一步解答大家的疑惑.

問題大致分成兩類,即數學問題和物理問題:

數學問題:正規化是否唯一?

物理問題:此結果有沒有實際用處?

先說這兩個問題的答案都是肯定的!!!

本篇專談數學問題,下篇再簡單談談物理問題.

正規化是否唯一?

意思是說自然數的總和分成無限大加有限,

這有限值(-1/12)是否隨正規化方法不同而改變,

答案是不變!!!

我不在臉書作嚴格證明,

那會嚇走很多好友.

我只是再換另外一種正規化方法來說明,

底下是詳細計算手稿:

https://i.imgur.com/WWbF4vF.jpg



https://goo.gl/YJYg2f (限好友)

2014年5月21日

~~孫神四談自然數的總和(無限大不見了)~~

自然數的總和明明是無限大,我們卻把

自然數的總和=新無限大+(-1/12)

然後"拋棄"新無限大,再說自然數的總和可

正規化為-1/12.

很多好友都在問:為何可"拋棄"新無限大??

我緊接著就用物理實例現來跟大家說明如下:

在三談中,左右兩平行板間總能(見附圖 https://i.imgur.com/hwjtGrD.jpg ):

E(r)=(hc/2r){1+2+3+...}

------>(hc/2r){(r/a)^2 - 1/12},
a-->0

其中淺談裡取ε=a/r且a-->0,

右板受力是無限大:

F(r)=-dE(r)/dr=-E'(r)

----->-(hc/2){a^-2 + 1/(12r^2)},
a-->0

----->無限大
a-->0

在三談中我們直接把a^-2無限大"拋棄",直接

得有限值-(hc/24)1/(r^2),為甚麼可以這樣做

呢?本文就是要來解釋這個問題!

好吧!讓我們來直接面對無限大問題,因為我們

只考慮右板左邊能量所提供的力,我們還必須加

上右板右邊能量所提供的力.我們可假想距左板

L(L-->無限大)處有第三平行板,因此右板右邊

能量=E(L-r),注意r前面是-號,所提供的力為

-dE(L-r)/dr=+E'(L-r),注意是+號.

所以右板實際總受力為

-E'(r)+E'(L-r)

------>-(hc/2)[a^-2 + 1/(12r^2)]+{r-->L-r}
a-->0

=-(hc/2){1/(12r^2)-(r-->L-r)},

(注意a^-2消掉,無限大不見了!!!!!!!!!!!)

最後取L-->無限大,右板實際受力為有限值:

-(hc/24)1/(r^2),-號表示向左或吸引.

與實驗完全吻合!!

以上就是三談中為何可"拋棄"無限大的原因.



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我沒有完全看懂，只看了中文說明和大略的推導

主要是幫忙轉貼，所以問我我應該不會啊

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.230.183.244
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1516150959.A.477.html
推 j0958322080 : 就是黑魔法
→ wohtp       : 我比較想知道的是，為什麼analytic continuation 通
→ wohtp       : 常會等於丟掉發散項
推 JI1         : 0,...1,2,3...,9,...n,...
→ Desperato   : 推2樓的問題
推 Vulpix      : 拋棄每次看每次怪。不過我認為黑魔法應該倒過來看：
→ Vulpix      : 我們想算的那些物理量(以下用1+2+3+...來當象徵)，
→ Vulpix      : 例如1+2+3+...其實只是用不正確的方式去理解-1/12而
→ Vulpix      : 已。當然這不是在否定1+2+3+...=∞，有些計算本就不
→ Vulpix      : 會牽涉到-1/12，例如1個蘋果+2個蘋果+...。大概有點
→ Vulpix      : 類似Tr(A)=Σ{eigenvalues of A}，但在A是無窮多維
→ Vulpix      : 方陣的時候會無從加起(有些時候還是可以加的，只要A
→ Vulpix      : 夠好)。
推 musicbox810 : 想問E(r)=(hc/2r){1+2+3+...}是怎麼導出來的
→ tim32142000 : 你這問題讓我發現我漏轉了三談，讓我來找和補
補上三談

https://www.facebook.com/einsteinequation/posts/254316091423044

2014年5月14日

~~~~孫神三談自然數的總和(物理篇)~~~~

現在來談一個實際物理的應用實例,

考慮真空中不帶電(無電力)且

質量可忽略(無重力)的平行板,間距為r.

實驗發現平行板間有與r平方成反比的微弱吸引力.

這件重要的實驗發現可以簡單的說明如下:

1.板間雖為真空但仍有零點光能hf/2,

其中h是Planck常數,f是光頻.

2.板間光波要滿足駐波條件:

f=n(c/2r),n=1,2,...

c是真空光速.

所以由1.和2.可得平行板間總能

E=(hc/2r){1+2+3+...},

利用正規化{1+2+3+...}--->-1/12,

所以

E--->-(hc/24r)

定性上,

總能E負號表式吸引,總能E與r成反比,

表示力與r平方成反比;

同時定量上也完全跟實驗吻和!!!
※ 編輯: tim32142000 (36.230.183.244), 01/17/2018 12:26:09
→ tim32142000 : 兩平行板的例子有∞-∞的味道
推 j0958322080 : 這種說法我覺得他只是先射箭再畫靶而已，雖然物理常
→ j0958322080 : 常都是這樣，但這種說法對於理解數學完全沒幫助
→ tim32142000 : 還是我該說是想辦法讓∞-∞定型呢？
→ tim32142000 : 對物理學家符合實驗比較重要，數學的角度可能要去理
→ tim32142000 : 解數學家怎麼處理發散級數，這方面我知識機乎是零，
→ tim32142000 : wiki有寫
→ tim32142000 : https://youtu.be/7fGoins7q3s 可以看這片的註解
→ wohtp       : 我的意見是analytic continuation只有在剛開始要發
→ wohtp       : 散的那點保證可以用。
→ wohtp       : 拉過那點之後還有沒有意義必須case by case去看
→ wohtp       : 至於上面Casimir energy這個例子...有沒有發現，只
→ wohtp       : 要finite part是負的，就通過他講的定性定量測試？
→ wohtp       : 以我所知應該還沒有實驗真的去量到那個1/12
→ wohtp       : 所以我不認為-1/12在Casimir effect有實證
推 musicbox810 : 謝謝 原來是這樣推導的
推 GaussQQ     : 老實說 數學這樣簡單的話 解析數論學者爽死了
推 GaussQQ     : 當初zeta 函數的解析延拓是為了解決prime number th
→ GaussQQ     : eory的一步，黎曼也花了一番功夫證明它
推 j0958322080 : 我覺得這篇還是砍掉吧，物理系自己去物理板自爽就好
推 sunev       : 當時難，現在不一定難；時代在進步。
→ sunev       : 話說回來，陶哲軒曾在他的blog上探討過相關議題
→ sunev       : 不過小弟資質愚頓看不懂，有請板上大大開示
→ sunev       : https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/
→ wohtp       : 這篇沒講解析研拓啊，只是用了smooth cutoff去做那
→ wohtp       : 些級數
→ wohtp       : 喔原來底下還有一大團要點開來看
推 GaussQQ     : 時代在進步 解析延拓都不是簡單的課題，能對一些函
→ GaussQQ     : 數知道延拓範圍，可以推知該函數系數的asymptotic
→ GaussQQ     :    Behavior
推 GaussQQ     : 縱使是古老如zeta函數的解析延拓，也不該是這樣簡
→ GaussQQ     : 單的証明
推 sunev       : 這篇引用的孫超群的說明當然談不上是證明，我的意思
→ sunev       : 是物理學家在用到這式子時，應該簡明厄要的提出我們
→ sunev       : 真正要的是解析延拓後的東西，而不是拿一個違背基本
→ sunev       : 直覺的東西來唬人。像上一篇的Mathologer的影片就很
→ sunev       : 好。
推 GaussQQ     : 這也談不上違反直覺吧，沒有數學家真的會在文章寫這
→ GaussQQ     : 樣的等式，而是寫zeta(-1)=-1/12
推 sunev       : 寫出zeta(-1)當然就是用了解析延拓，用了解析延拓一
→ sunev       : 切就會自然許多。解析延拓為唯一的概念並不難懂，這
→ sunev       : 是我所謂「簡單」的部份，至於證明zeta函數解析延拓
→ sunev       : 表達式的部份是可以用it turns out that帶過就好
→ sunev       : 物理學家習慣用regularization去「說明」這件事，就
→ sunev       : 如同本篇孫超群的做法一樣，但這一點也沒有比較好懂
→ sunev       : ，任何微積分有點sense的人都會接著問「如何保證結
→ sunev       : 果不會隨著regulalize而變？」，不如引用解析延拓唯
→ sunev       : 一的方式來得直接。
推 GaussQQ     : 辛苦解說了 給推
→ wohtp       : 物理上真正有意義的是regularization
→ wohtp       : 解析拓延用在這邊只是一個方便的regularization工具
→ wohtp       : 陶哲瑄那篇基本上證明zeta function等價於smooth
→ wohtp       : regulator用在正整數次方和上面。
→ wohtp       : 但是用他的方法，其他各種解析拓延仍然需要case by
→ wohtp       : case去證明等價
推 sunev       : 但我覺得還是要定義清楚regularization及其適用範
→ sunev       : 圍，才談得上物理意義。就好像本文就舉了兩種方法
→ sunev       : ，不然隨便乘一個函數都可以嗎？
推 wohtp       : 微觀物理定義正確的regularization
→ wohtp       : scheme-independance是需要證明的，從來沒有人保證
→ wohtp       : 你可以用什麼都對啊。
→ wohtp       : 有一個很有趣的例子，Efimov Effect的RG limit cycl
→ wohtp       : e
→ wohtp       : 這個用dimensional regularization(解析延拓！)做不
→ wohtp       : 出來
→ wohtp       : 因為所有power law divergence都被直接丟掉了
→ wohtp       : 但是在這裡，power law divergence可以resum成另一
→ wohtp       : 個log，跟leading 2-loop log divergence互相抵銷
推 sunev       : 喔喔，感謝樓上資訊，我再研讀看看。