[中學] 證明若f(a)f(b) = f(a+b) 則f(x)為指數函數

[cat91 (支持貓咪統治世界)]

在網路上看到一題:

若對於任何實數a,b皆有: f(a)f(b) = f(a+b) ，請證明: f(x)必為指數函數。

反過來想十分顯然，但若是這樣真能證明嗎?

百思不得其解

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推 angel07     : 証明非Q則非P亦同。
推 arthurduh1  : 還可能是 0 函數
→ arthurduh1  : 首先 f(0) = 0 或 1. 是 0 就是 0 函數.
→ arthurduh1  : 是 1 的話有個暴力作法: 首先驗證有理數 a 都滿足
→ arthurduh1  : f(a) = f(1)^a, 接著說明函數是連續的即可
推 DLHZ        : 常數函數也行吧
→ DLHZ        : 如果是指數函數那前面成立沒錯 但是有前面的敘述不
→ DLHZ        : 代表是指數函數
→ arthurduh1  : 不過連續似乎不是很顯然@@
→ DLHZ        : 抱歉常數函數不行 茫了
→ cat91       : 0^0不是undefined 嗎
→ keith291    : 命題是錯的  少條件f(x)連續實函數且恆非0
推 arthurduh1  : 沒有 0^0 的問題啊
→ arthurduh1  : 我感覺也是錯的, 應該可以造出反例. 在無理數的部分
→ cat91       : 啊 看錯抱歉
→ arthurduh1  : 可以定義出另一個指數的次方
推 LPH66       : 應該不能到全部無理數 (有根號2這種例子在)
→ LPH66       : 但是縮到超越數說不定可行?
→ LPH66       : 咦我搞錯了...無理數應該可以
推 Vulpix      : 連續性並不顯然，那是因為真的可以不連續。所以f(x)
→ Vulpix      : 不見得是指數函數。這問題本質跟柯西方程一樣，將實
→ Vulpix      : 數系視為有理數系的向量空間，選擇一個適當基底，那
→ Vulpix      : f(x)可由f在基底上的值決定，而在哪個基底上選什麼
→ Vulpix      : 值是可以隨便指定的。
推 Lemur       : f不連續就無法保證;f連續非0函數就保證f(x)=f(1)^x.
推 jacky7987   : 要連續才可以，不是線性那個問題