Re: [中學] 證明若f(a)f(b) = f(a+b) 則f(x)為指數函數

[arthurduh1 (arthurduh1)]

※ 引述《cat91 (支持貓咪統治世界)》之銘言：
: 在網路上看到一題:
: 若對於任何實數a,b皆有: f(a)f(b) = f(a+b) ，請證明: f(x)必為指數函數。
: 反過來想十分顯然，但若是這樣真能證明嗎?
: 百思不得其解



來個非 0 函數的反例吧~


由選擇公理, R/Q as vector spaces 有個基底 {α_i : i 屬於某個 index set}.

特別挑一個 α_i 出來, 把它叫做 β.


對於任一實數 a, 若 a 用上述基底表示後, 其 β 的係數為 k,

則令 f(a) = 2^k 4^{a-kβ}.


此 f 會滿足條件. (由線性代數中, 基底表示的存在、唯一性.)


而 f 為指數函數的唯一可能是 f(a) = 4^{k/2} 4^{a-kβ} = 4^{a-kβ+k/2}

其指數部分剛好為 a 的倍數.

這代表 β = 1/2.

但 1/2 為有理數, 不可能為基底之一員.

故此可能性被排除.


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很暴力的作法...

不曉得能否繞過選擇公理@@


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.254.218.129
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1516209050.A.68C.html
推 Lemur       : 這f(a)是指數函數吧
基本上不太會是, 我修正並補充說明一下.
原來版本 β 的選取會有限制.

※ 編輯: arthurduh1 (111.254.218.129), 01/18/2018 02:37:30
推 Lemur       : f(a) = 4^{k(1/2-β)} 4^a, a=0代進去,得係數必為1
→ arthurduh1  : a=0 時 k=0 哦
→ arthurduh1  : 你的係數是指什麼?
→ Lemur       : k(a)不連續那就ok;否則4^{k(1/2-β)}這係數還是指數
推 Lemur       : 我的理解是:β是常數無理數,k(a)是實函數滿足題意.
→ arthurduh1  : k(a) 的確是連續函數唷, 但總體還是並非指數函數啊
→ arthurduh1  : 你想得太複雜了, 指數函數就只是 f(x) = r^x for so
→ arthurduh1  : me constant r
→ arthurduh1  : 啊 k(a) 不連續 這樣你沒疑問了吧
→ arthurduh1  : 但就算連續也不能直接說那是指數函數就是了, 要 k
→ arthurduh1  :  是 a 的線性函數才會是
→ arthurduh1  : 會誤稱連續是因為我把 R 看成是 Q-vector space 後
→ arthurduh1  : 用上面的拓樸了
推 Lemur       : f(a)f(b) = 2^k_a 4^{a-k_aβ} 2^k_b 4^{b-k_bβ}
→ Lemur       : f(a+b)=2^k_a 4^{a-k_aβ} + 2^k_b 4^{b-k_bβ}
→ Lemur       : 上兩式對所有a,k_a,b,k_b相等又不指數,那k必不連續.
→ Lemur       : 我f(a+b)錯了 應=2^(k_a+k_b) 4^{a+b-(k_a+k_b)β}
→ Lemur       : 是恆等式沒錯.但a->b時,k_a不必->k_b,此構造不連續.
→ Lemur       : 嗯 大大構造了不連續函數f(a+b)=f(a)f(b)的一組例子
→ Desperato   : 個人認為繞不過
→ Desperato   : 這題等同於問  x+y 和 cy 能不能簡化成一個
→ arthurduh1  : 我直覺也是繞不過
推 Vulpix      : 繞不過的，Hamel basis的存在性與c_1集合的選擇公理
→ Vulpix      : 等價。c_1集合是在說跟R一樣大的集合。
→ arthurduh1  : 我知道, 但也許可以不用 Hamel basis 造這類函數
→ arthurduh1  : 直覺是一定要用, 但就缺個嚴格的證明
→ arthurduh1  : 缺的證明應該是: 若存在一個這種函數, 就能由其找出
→ arthurduh1  : 一組 Hamel basis?
推 Vulpix      : 所以只要能決定每個實數的β分量有多大就好？可是這
→ Vulpix      : 應該與找到一組basis是同一個問題……
→ arthurduh1  : 是說我查了一下, 那兩者好像也還沒被證明是等價的?
推 Vulpix      : 我也查了，好像是。不過我沒有讀很多這方面的東西，
→ Vulpix      : 不過這題真的需要的是：A Q-linear map ω:R→Q,
→ Vulpix      : with ω(β)=1 for an irrational β，有這樣一個ω
→ Vulpix      : 的話就足夠了，這就可以用來算β分量上的係數。
→ arthurduh1  : 好像怪怪的, 應該是除了 β 之外的基底元素都打到 1
→ arthurduh1  : 才對?
→ arthurduh1  : 根據 https://goo.gl/33bhpg 應該是沒強到等價於
→ arthurduh1  : C_1 的 AC. 我也看過有網站寫說, 存在其他模型使得
→ arthurduh1  : 這種函數存在.
→ arthurduh1  : 不過都知道 AC of C1 → Hammel basis 存在性 →
→ arthurduh1  : 這種函數存在. 且第一個蘊含關係不能反向, 那本問題
→ arthurduh1  : 當然就只可能更弱了