Re: [機統] 基於某分布的期望值"定義"(1000p)

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 想請問一下
: 一群資料{x_i}, 分布是p(x), g為定義在那群樣本空間上的實函數
: 那 E_{x~p(x)}[g(x)]的正式定義為何？

如你所說, 若 X 是定義在機率空間(Ω,Σ,P)上之一實數
值隨機變數, 那麼 X 之期望值的正式定義就是

    E[X] := ∫_Ω X(w)dP(w)

若 X 有機率分布函數 F, 那麼, 由變數轉換定理,就可以
把 X 的期望值寫成

    E[X] = ∫_R x dF(x)

而當 F 對數線 R 上之某一σ-finite 測度 μ 是絕對連
續, 也就是說 F 對 μ 存在一個 density function 時,
竟可以寫

    E[X] = ∫_R x f(x) dμ

有兩個特例, 一是 μ 為 Lebesgue measure, 則 E[X]
存在時, 可以表示為 Riemann 積分

    E[X] = ∫_R x f(x) dx

二是 μ 為 counting measure 而 F(x) 僅在可數個點有
跳躍型不連續點且其總和跳躍值為 1, 即 X 為 "離散型"
而有離散型 p.d.f.(或稱 p.m.f.) f(x),則 E[X] 可表為

    E[X] = Σ x_i f(x_i)

其中 Σf(x_i) = 1.


在初級課程, 後兩式 (黎曼積分式及加總式) 就被當成是
期望值的定義,


設 Y = g(X) 是另一隨機變數, 則其期望值可以定義為

    E[g(X)] = ∫_Ω g(X(ω))dP(ω)

也可寫成

    E[Y] = ∫_Ω Y(ω) dP(ω)

由 X 之分布函數 F, 可導出 Y 的分布函數 H,

    H(y) = P[Y≦y] = P[g(X)≦y]

從而 Y 之期望值可以寫成

    E[Y] = ∫_R y dH(y)

也可以表示成

    E[g(X)] = ∫_R g(x) dF(x)

有 density function 時也類似, 可以用 Y 之 density
來計算, 也可以直接用 X 之 density 來計算 g(X) 的期
望值.


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→ yhliu       : 又, (Ω,Σ,P) 稱 probability space, Ω是樣本空間
→ yhliu       : 隨機變數的正式定義是定義在機率空間, 也就是: 它是
→ yhliu       : 由樣空到延伸實數集 R* 的可測函數(相對於 Σ 和
→ yhliu       : Borel field), 符合 P(|X|<∞) = 1.
→ yhliu       : 有時我們也把 X 的值域(R*的子集)稱為 X 的樣本空間
推 znmkhxrw    : 謝謝y大 我會說Y=g(X)並非我要問的原因是 如此一來
→ znmkhxrw    : g就是from R to R, 可是paper的說法很像
→ znmkhxrw    : from Ω to R 我才會覺得不一樣
→ znmkhxrw    : 但是目前有可能只是他的"解釋"方法
→ znmkhxrw    : 實際上paper的g(x)=logD(x)可能是logD(X(w))...