※ 引述《kvf13 (--)》之銘言：
: https://goo.gl/o1aN2j
: 請問，在方程的變形中，0解是怎麼被刪掉的?
: 由一式用合分比推到二式 是同一個x
: 雖然分母改變了...
: 可是二式到三式，它也同乘6x 去掉這個分母
: 分母6x必不為0，所以是同解變型
: 這樣三式解出來，不就只要把解套回一式 讓分母不為0去增根
: 不就是所有解嗎?
: (( 雖然可以硬背 用合分比要把使第二式帶入x分母為0的情況額外討論
: 但我真的想弄懂 這裡面發生什麼事...))
我沒有原文不確定原本定理表述如何, 但看起來應該是類似這樣的狀況:
在一些條件之下, 若 a/b = c/d, 則 (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d)
這個敘述可以如此"證明":
a/b = c/d <=> (a+b)/b = (c+d)/d (同加1)
(a-b)/b = (c-d)/d (同減1)
後兩式相除得 (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) #
那所有會發生問題 (增減根) 的地方就在這整個過程當中可能讓分母為 0 的地方
這些地方就是上面我寫「在一些條件之下」的條件
簡單整理可以知道這些條件是: a≠b, b≠0, c≠d, d≠0
也就是說, 在使用這條定理的時候, 我們只討論了滿足這些條件的狀況
那當然不滿足的狀況就要提出來分開討論了
在這題的例子裡, a≠b => x≠0; b≠0 => x≠1,2;
c≠d => x≠0; d≠0 => x≠1,1/2.
所以應用這條定理得出來的解是在 {0,1/2,1,2} 之外的解
這個時候中間的同乘 6x 也就順順下去了
因此最後解出 ±1 時, -1 可以確定是解, 但 1 不知道
(我們是在代回 1 到原式發覺無意義之後才排除它是根的)
那因為從應用定理到解出 ±1 為止, 0 都不在討論範圍裡
當然也必須去找出來代回原式看看剛才沒討論的東西是不是答案
只是這題裡碰巧它是答案所以就成為了失根罷了
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你最後的問題其實是一個邏輯推論的問題
並不是只要想辦法把 0 偷渡進來就能說那是對的了
因為只要應用了這個定理, 你就根本沒有對 0 合不合方程進行討論
不能因為事後增根了就說它可以補回剛才的失根
再說誰保證了你增的根正好補的就是剛才失去的根?
又有誰保證了某個操作一定會增根?
(去分母不一定增根喔
同樣是 (2), 如果你只是同乘 6x 不會增根
但如果你用交叉相乘去分母 0 就又跑出來了
又或者從 (1) 直接交叉相乘去分母就會跑出 1 來, 而且 0 完全不會消失
這也可以做為「0 消失」是應用這個定理的後果之一的旁證)
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說回來去分母
這其實也是跟這個「合分比定理」一樣, 討論了某個條件 (分母為 0) 之外的可能
因此去分母的用法也跟應用這個定理一樣, 一開始假設了某些特殊值先不討論
得到部份結果之後再回頭討論剛才沒討論的部份
只是去分母的狀況絕大多數是引入了代入原式無意義的值
而不會像這個定理一樣會排除某些原本合法的狀況而已
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LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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