※ 引述《LPH66 (J∪$т М㎝iκä)》之銘言：
非常謝謝你的回覆，我學到了很多... :)
花了一點時間，把您的回覆整理成一點小心得回覆在這裡。
希望對其他人有幫助。
設第一式 為 a/b = c/d 其條件為: b!=0, d!=0
第二式 為 (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) 其條件為: (a-b)!=0, (c-d)!=0
將第二式同乘6X，得出第三式
(注意，先決條件是(a-b)!=0, (c-d)!=0，所以可以同乘6X
第三式沒有討論到(a-b)=0, (c-d)=0的情況，最後須額外討論)
將第三式順著解出來，即為(a-b)!=0, (c-d)!=0時的解
得x= +-1
將x= +-1 帶回第一式，由於第一式之條件為 b!=0, d!=0
x= 1(不合)。 得x=1為一根
接著額外討論(a-b)=0, (c-d)=0的情況
(a-b)=0, (c-d)=0 => x=0
將其直接帶入第一式，得其亦為一根。
故x=0,1
: 我沒有原文不確定原本定理表述如何, 但看起來應該是類似這樣的狀況:
: 在一些條件之下, 若 a/b = c/d, 則 (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d)
: 這個敘述可以如此"證明":
: a/b = c/d <=> (a+b)/b = (c+d)/d (同加1)
: (a-b)/b = (c-d)/d (同減1)
: 後兩式相除得 (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) #
: 那所有會發生問題 (增減根) 的地方就在這整個過程當中可能讓分母為 0 的地方
: 這些地方就是上面我寫「在一些條件之下」的條件
: 簡單整理可以知道這些條件是: a≠b, b≠0, c≠d, d≠0
: 也就是說, 在使用這條定理的時候, 我們只討論了滿足這些條件的狀況
: 那當然不滿足的狀況就要提出來分開討論了
: 在這題的例子裡, a≠b => x≠0; b≠0 => x≠1,2;
: c≠d => x≠0; d≠0 => x≠1,1/2.
: 所以應用這條定理得出來的解是在 {0,1/2,1,2} 之外的解
: 這個時候中間的同乘 6x 也就順順下去了
: 因此最後解出 ±1 時, -1 可以確定是解, 但 1 不知道
: (我們是在代回 1 到原式發覺無意義之後才排除它是根的)
: 那因為從應用定理到解出 ±1 為止, 0 都不在討論範圍裡
: 當然也必須去找出來代回原式看看剛才沒討論的東西是不是答案
: 只是這題裡碰巧它是答案所以就成為了失根罷了
: ====
: 你最後的問題其實是一個邏輯推論的問題
: 並不是只要想辦法把 0 偷渡進來就能說那是對的了
: 因為只要應用了這個定理, 你就根本沒有對 0 合不合方程進行討論
: 不能因為事後增根了就說它可以補回剛才的失根
: 再說誰保證了你增的根正好補的就是剛才失去的根?
: 又有誰保證了某個操作一定會增根?
: (去分母不一定增根喔
: 同樣是 (2), 如果你只是同乘 6x 不會增根
: 但如果你用交叉相乘去分母 0 就又跑出來了
: 又或者從 (1) 直接交叉相乘去分母就會跑出 1 來, 而且 0 完全不會消失
: 這也可以做為「0 消失」是應用這個定理的後果之一的旁證)
: ====
: 說回來去分母
: 這其實也是跟這個「合分比定理」一樣, 討論了某個條件 (分母為 0) 之外的可能
: 因此去分母的用法也跟應用這個定理一樣, 一開始假設了某些特殊值先不討論
: 得到部份結果之後再回頭討論剛才沒討論的部份
: 只是去分母的狀況絕大多數是引入了代入原式無意義的值
: 而不會像這個定理一樣會排除某些原本合法的狀況而已
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