※ 引述《vacuityhu (真空管)》之銘言：
: f(x)=0.5*||x-v||^2_2+||x||_2+||x-w||_2
: x, v, w都是向量且v, w都是已知
: 求極小值時x=?
: 我目前作法當然就還是先微分
: f'=(x-v)+x/||x||_2+(x-w)/||x||_2
: 然後找f'=0的解
: 但是f'對x來說好像是隱函數
: 怎麼拆都拆不出x=g(v,w)的形式
: 想求助板上各神手大大QQ
: 順便問一下..
: 除了經驗法則以外有沒有甚麼比較可靠的依據可以判斷是不是隱函數呢??
簡單講一下解法。請配合畫圖不要偷懶。
首先這個問題只需要考慮二維就好。極值一定發生在 x, w, v 共平面的時候。
然後平移一下： z = x - w/2
a = w/2
t = v - w/2
則原式變成
1
--- |z-t|^2 + |z-a| + |z+a|
2
令 L = |z-a| + |z+a|。L 固定時 z 的軌跡是個橢圓，兩個焦點分別在 +-a。
把 a 轉到 x 軸上，怎麼寫這個橢圓的標準參數式自己查一下。
把 z 限定在橢圓上，原式的極值就是
1/2 (橢圓到 t 的最短距離)^2 + L
然後再對 L 取極值就好。
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