※ 引述《s512874690 (爪爪)》之銘言：
: https://i.imgur.com/IIxNajU.jpg
: https://i.imgur.com/daHpWpX.jpg
: 想問第五題有沒有比較簡單的算法
: 雖然看得懂可是我自己在算的時候我應該想不到要這樣拆，而且解答倒數第二行後面那項積
: 分有點麻煩
To solve (2/a)∫x^1.5 * √(2a-x) dx for x in [0,2a]
Let x= 2a*(sint)^2, dx=4a*sint*cost dt (x=0, t=0; x=2a, t=pi/2)
(2/a)∫(2a)^1.5*(sint)^3*√(2a)*cost*(4a sint cost dt)
=32a^2∫(sint)^4*(cost)^2 dt
=32a^2∫(sint)^4-(sint)^6 dt
可利用 ∫(sint)^n dt = (n-1)/n * ∫(sint)^(n-2) dt - (1/n)cost*(sint)^(n-1)
(分部積分可推導)
或利用(sint)^2 = (1-cos(2t))/2, (cost)^2 = (1+cos(2t))/2降階
但都不會很好算就是了
原文倒數第二行 ∫√(a^2-(x-a)^2) dx
Let u = x-a, du = dx (x=0, u=-a; x=2a, u=a)
∫√(a^2-u^2) du for u in [-a,a]
即為半徑為a的圓之上半部面積=pi*a^2/2
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