[線代] rank(A^T A)=rank(A A^T) ?

[annboy (BlueGun)]

詳細問題如下:

For any m by n matrix, A ,

rank(A A^T) = rank(A^T A).

True or flase ?



^T是代表矩陣的轉置

我的疑問主要來自於此問題並沒有限定field(後面就直接用F代表)為何!!

以我所知的定理來說(Friedberg LA 4E PNIE)

Exercise 18 of Section 6.4

Let T:V->W be a linear transformation , where V and W are finite-dimentional

inner product spaces.

rank(T*T) = rank(TT*) = rank (T).



在這個章節中作者有限定F=R或C。

選擇T=LA，A是m by n矩陣，F=R，很顯然可以得到

rank(A^T A) = rank(A A^T) = rank(A)。



但究竟是不是所有F都成立?

我比較有印象的定理是

Corollary 2 (1) to Theorem 3.6

Let A  be an m by n matrix. Then rank(A^T) = rank(A).


這個推論就沒有限制F為何。


自己想了一陣子，似乎無法得到:

If x ∈ N(A^T A) => x ∈ N(A)

的推論，這邊N()是代表null space





用關鍵字去找了證明，其中一個大概是這樣敘述:

A^T Ax = 0

=> x^T A^T Ax = 0

=> (Ax)^T Ax = 0

=> Ax = 0 (就是這行，有點問題)

=> x ∈ N(A)



由v^T v = 0 要推得v = 0

似乎是要有內積或範數的定義，例如R^n空間的標準內積(standard inner product)。



回到最初的問題，不限制F為何的話，敘述似乎是錯的，

請教能否用證明敘述是錯的，或者找到反例，

以上問題，感謝。












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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.214.255.61
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※ 編輯: annboy (49.214.255.61), 02/05/2018 20:21:20
推 algorithm   : rank印象中是column space over some F的dim
→ algorithm   : 看Column Space的話 CS(AA')包含於CS(A)
推 GaussQQ     : 你這問題跟問rank (B) =rank(B^t)不是一樣？for B=A
→ GaussQQ     : A^t?所以是對的啊
→ annboy      : 轉置要對調喔
→ annboy      : B^T也是A A^T
→ annboy      : 回一樓 我所知的定理也只能推得range 或 null space
→ annboy      : 包含的關係而已
推 GaussQQ     : XD對
推 GaussQQ     : 這over R對，over C就有問題了吧 （1,I,0,0)之類的
→ GaussQQ     : 就錯了
→ willydp     : A=(1,0;0,0), B=(0,1;0,0) rk AB=1, rk BA=0
推 GaussQQ     : I is the pure imaginary number
→ willydp     : 阿抱歉，要轉置矩陣
推 forget0309  : 不限制F是指F可以是ring?還是F是其他的field?如果
→ forget0309  : 是第一個的話就目前我看過的沒有在over ring的情況
→ forget0309  : 下討論rank(也可能是我學得少…）如果是第二個的話
→ forget0309  : 上面留言已有大大舉出反例了哦A=[1,i] over C
→ annboy      : 阿對 想2 by 1就比較簡單 我有往2*2去想 不過有點
→ annboy      : 嫌煩 感謝各位大大的回覆 ［1 i]是反例沒錯
→ annboy      : 因為題目的敘述也沒說 我推測就只是field 該題是成
→ annboy      : 大電通所通信數學的某個選項


※ 編輯: annboy (49.214.255.61), 02/06/2018 18:45:51