[中學] 資優數學問題1

[semmy214 (黃小六)]

https://imgur.com/a/OKaSA

一共五題

複數那題
|w|=1, |z|=10
A = (w-z)/z = w/z -1
θ = arg(A)
tan2 θ 最大值

令 w/z = a+1+bi
(a+1)^2 +b^2  = |w/z|^2  = (1/10)^2
A = a+bi
tan^2θ = (b/a)^2

(a+1)^2 +b^2  = (1/10)^2
這是一個圓，圓心是 (-1,0)，半徑 1/10
然後θ管角度，tan^2 θ 要最大，愈直立 | 愈好
最大就是原點畫切線過去那條
直角三角形 1/10 : 1 -> 1 : 10 : √99
tan^2 θ max = 1/99

這是別人算的 可否圖解說明 原點畫切線過去那條是指??

雙曲線那題
C(2, 1/2)
斜率 -1/4 → x + 4y = k
|2 + 4*(1/2) - 4 - 4*1|/√(1+16)
= 4/√17
看起來好像是算C到D的長度
但距離不是指垂直部分?

其他題求過程


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推 LPH66       : 前半問題, 你把 (a+1)^2+b^2=(1/10)^2 這圓畫出來
→ LPH66       : 主要重點是 w/z 的長度是 1/10, 故 w/z-1 的可能值
→ LPH66       : 會是 (-1,0) 為圓心半徑 1/10 的圓, 就是這條方程
→ LPH66       : 那你考慮這圓上的點到原點斜率最大的可能在哪就懂了
推 LPH66       : 後一題, x+4y=k 是這條弦的方程, 代 (4,1) 求 k
→ LPH66       : 所以 k = 4 + 4*1, 然後代點到直線長度公式就是這樣
→ semmy214    : 複數那題還是不太懂 怎麼求得直角三角形的其中一股
→ semmy214    :  能否圖解 3Q
推 LPH66       : https://i.imgur.com/izFy0q8.png
→ LPH66       : 順便標出 1:10:√99
→ cheesesteak : 雙曲線那題因為AB斜率=-1/4, 故AB: x+4y-8=0
→ cheesesteak : Let C(t,1/t), d(C,AB)=|t+4/t-8|/sqrt(17)
→ cheesesteak : = [8-(t+4/t)]/sqrt(17) ≦ 8-2*sqrt(4)/sqrt(17)