Re: [中學] 一題學科競賽

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《breaken (我的心藍藍的)》之銘言：
: https://i.imgur.com/DLgegJr.jpg
: 第一題未知資訊
: 感謝各位先輩
: 感恩


x^4 - ax^3 + 2x^2 - bx + 1 = 0  存在一非零實數解 x

x^4 + 2x^2 + 1 = ax^3 + bx
x^2 + 2 + 1/x^2 = ax + b/x   ...(*)

由於 (a^2 + b^2)(x^2 + 1/x^2) >= (ax+b/x)^2               ...(**)
因此 (a^2 + b^2) >= (x^2 + 2 + 1/x^2)^2 / (x^2 + 1/x^2)   ...(**)

設 c = x + 1/x 整理右式可得

c^4/(c^2-2) =  c^2 + 2 + 4/(c^2-2) >= 4 + 2 sqrt(4) = 8   ...(***)


(**)  等號成立條件為 a/x = b/(1/x)
(***) 等號成立條件為 c^2-2 = 4/(c^2-2), 即 c^2 = 4, c = x + 1/x = +- 2
                                        因此 x = +- 1

再聯立(*)可得 (a, b, x) = (2, 2, 1) or (-2, -2, -1)

既然有解，因此 a^2 + b^2 有最小值 8


(原本那個解法的錯誤，是因為只有3個未知數卻有4個等式)

應該有更好的作法，不覺得這個方法很好qw q


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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.34
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※ 編輯: Desperato (140.112.25.34), 03/21/2018 15:13:50
※ 編輯: Desperato (140.112.25.34), 03/21/2018 15:24:47
推 Panthalassa : 從 (**) 可以令 a = kx, b = k/x
→ Panthalassa : 則原方程式: (1-k)x^4 +2x^2 +(1-k) = 0
→ Panthalassa : x^2 + 1/x^2 = 2/(k-1)
→ Panthalassa : 所以 a^2 + b^2 = 2k^2/(1-k)
→ Panthalassa :  = 2(k-1) + 2/(k-1) + 4 >= 8
→ Panthalassa : 一樣也是 柯西 套 算幾 就是了XD
推 Panthalassa : 補一下，因為判別式，所以 0<=k<=2