Re: [高中] 高三函數一題

[Honor1984 (奈何上天造化弄人？)]

※ 引述《emi921223 (外頭有人在哭喊)》之銘言：
: 對任意正實數而言，有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=3，求f(4^1/3)之值為何。
: 前兩小題是f(1)=0及f(1/8)=-9。
: 主要問題是不知道怎麼拆開，希望高手提點。
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yf'(xy) = f'(x)

(xy)f'(xy) = xf'(x)

=> f'(x) = c/x

=> f(x) = clnx + a

又a = 0

=> f(2) = 3 = cln2

=> c = 3/ln2 = 1/ln(2^(1/3))

=> f(x) = log_2^(1/3) x

f(4^(1/3)) = f(2^(2/3)) = 2




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→ xavier13540 : f不一定可微阿 可以造出不可微的例子
→ Honor1984   : 是沒說可微，但是由題目給的條件，可透過這種函數求
→ Honor1984   : 出題目要問的東西
推 xavier13540 : 那是因為這題問的是f(4^(1/3)) 如果今天問f(3) 答案
→ xavier13540 : 可以是任意實數
→ Honor1984   : 請問題目問了f(3)嗎?我可沒說其他值一定符合這函數
→ Honor1984   : 題目如果問f(3)，就會給足夠的條件。
→ Honor1984   : 而且題目是說對任意證實數而言，都滿足該函數方程
→ Honor1984   : 我並沒有說文中的那1條函數可以涵蓋所有範圍
→ xavier13540 : 那你怎麼知道f(4^(1/3))的條件夠而f(3)不夠?
→ xavier13540 : 因為題目這樣出?
→ Honor1984   : 因為題目給了2   f(2^(a/b))都可以決定
→ Honor1984   : 但是3無法以2^a/b a,b整數表示