Re: [微積] 線性微分方程

[oaoa0123 (OldFlame)]

※ 引述《jayemshow (S.Kazumi)》之銘言：
:   dy/dx = 1/[(e^y)-x]
:   方程式如上
:   我的作法是先顛倒，令方程式如下:
:   dx/dy = (e^y)-x => (dx/dy) + x = e^y


   Assume an integrating factor u(y) such that

   u(dx/dy) + ux = ue^y.


   Compare the left hand side with

   d(ux)/dy = u(dx/dy) + (du/dy)x

   and yields

   du/dy = u.

   We take u = e^y.


   Integrating both sides we have

   ∫d(ux)/dy dy = ∫ue^y dy

   => xe^y = (1/2)e^(2y) + C.


:   方程式函數變為 x
:   且符合線性條件
:   積分因子為 e^y
:   (x 前面係數為 1，積分為 y 放在指數上)
:   再積分 (e^y)*(e^y) => 積分 e^(2y) = (1/2)[e^(2y)]
:   F(y) = (1/2)[e^(2y)]/(e^y) = (1/2)[e^(y)]
:   不過我算出來的答案和解答天差地遠...
:   但又看不出哪裡邏輯出了問題
:   感覺已經化成了標準式
:   剩下就是照 SOP 走
:   卻算不出來
:   求板友點解
:   感謝

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推 jayemshow   : 感謝 oaoa 板友解答，但比較不懂的是
→ jayemshow   : 這個方程式 (dx/dy) + x = e^y 已經線性化了
→ jayemshow   : 為什麼不能直接套公式算出答案，而需要這樣計算呢 ?
→ ejialan     : 樓上 你的做法積分那步有加C的話解其實是一樣的
推 jayemshow   : 原來如此，感覺我又搞了個烏龍了... 回文與推文的板
→ jayemshow   : 友點解